下列哪一个与 tan(5π/6) 相等：tan(-π/6)、cot(5π/6)、tan(7π/6)，还是 tan(-5π/6)？

Step-by-step solution

1. 1

   先定位这个角，再求出它的精确值。 $\frac{5\pi}{6} = 150^\circ$ 落在第二象限，那里正弦为正、余弦为负，所以正切为负。它的参考角是 $\pi-\frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$，因此 $\tan\frac{5\pi}{6} = -\tan\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt3} \approx -0.5774.$

2. 2

   用正切的奇函数性质检验 tan(-pi/6)。 由 $\tan(-\theta) = -\tan\theta$ 得 $\tan\!\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\tan\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt3}.$ 这是完全吻合的。

3. 3

   排除 cot(5pi/6)。 余切是正切的倒数，而不是同一个函数：$\cot\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{-1/\sqrt3} = -\sqrt3 \approx -1.7321$。符号一样，但大小不对。

4. 4

   排除 tan(7pi/6)。 正切的周期是 $\pi$，所以 $\tan\frac{7\pi}{6} = \tan\!\left(\frac{7\pi}{6}-\pi\right) = \tan\frac{\pi}{6} = +\frac{1}{\sqrt3}$。这个角在第三象限，那里正切为正——符号错了。

5. 5

   排除 tan(-5pi/6)。 由奇函数性质，$\tan\!\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\tan\frac{5\pi}{6} = +\frac{1}{\sqrt3}$——同样符号错了，实际上它正是目标值的相反数。

6. 6

   给出答案，并总结一般规律。 只有 $\tan\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)$ 成立。一般地，对任意整数 $k$ 都有 $\tan\theta = \tan(\theta+k\pi)$，而这里 $\frac{5\pi}{6}-\pi = -\frac{\pi}{6}$——两个角正好相差一个周期。