在区间 [0, 2π) 上解方程 sin²x + sin x = 0。

Step-by-step solution

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   把它看成关于 $\sin x$ 的二次方程。 令 $u = \sin x$，方程就变成 $u^2 + u = 0$。认出这个二次结构是关键一步；根本不需要用任何三角恒等式。

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   要因式分解，不要两边相除。 提出公因式 $\sin x$：

   $\sin x\,(\sin x + 1) = 0$

   千万不要两边同除以 $\sin x$——那会悄悄丢掉所有满足 $\sin x = 0$ 的解，而这里绝大部分答案正是它们。

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   拆成两个简单方程。 乘积为零，只能是某个因式为零：

   $\sin x = 0 \qquad \text{或} \qquad \sin x = -1$

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   在 $[0, 2\pi)$ 上分别求解。 正弦在一个周期的两端和中间取零，而取到最小值 $-1$ 只有一次：

   $\sin x = 0 \;\Rightarrow\; x = 0,\ \pi \qquad (2\pi \text{ 因区间半开而被排除})$

   $\sin x = -1 \;\Rightarrow\; x = \frac{3\pi}{2}$

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   汇总并逐个验证。 解集是 $\left\{0,\ \pi,\ \dfrac{3\pi}{2}\right\}$。代回原方程：$x=0$ 时 $0 + 0 = 0$ ✓；$x=\pi$ 时 $0 + 0 = 0$ ✓；$x = \tfrac{3\pi}{2}$ 时 $(-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0$ ✓。在 $[0,2\pi)$ 上取 $2$ 百万个点做数值扫描，零点只出现在 $0$、$\pi$ 和 $1.5\pi$，说明没有漏解——特别是常见错误选项里的 $\tfrac{2\pi}{3}$ 和 $\tfrac{4\pi}{3}$，代进去得到 $\tfrac34 \pm \tfrac{\sqrt3}{2} \neq 0$。