解方程 3 tan x + sqrt(3) = 0，写出通解，其中 k 为整数。

Step-by-step solution

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   先把正切单独留下。 把常数移过去再除以 $3$：

   $\tan x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

   把它化成更熟悉的样子会有帮助：$\dfrac{\sqrt3}{3} = \dfrac{1}{\sqrt3}$，所以 $\tan x = -\dfrac{1}{\sqrt3}$。

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   求参考角。 由三边为 $1$、$\sqrt3$、$2$ 的 $30^{\circ}$–$60^{\circ}$–$90^{\circ}$ 直角三角形可知 $\tan\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt3}$。所以参考角是 $\dfrac{\pi}{6}$，即 $30^{\circ}$ —— 不是 $\dfrac{\pi}{3}$，在那里才有 $\tan = \sqrt3$。

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   根据符号确定角的位置。 正切在第二、第四象限为负。又因为 $\tan$ 是奇函数，所以主值解就是参考角取相反数：

   $x = -\frac{\pi}{6}$

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   周期只加一份，别加成两份。 正切的周期是 $\pi$ 而不是 $2\pi$，因此一族解就能把所有根都装下：

   $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}$

   写成 $-\tfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ 会丢掉一半的解；写成 $\tfrac{\pi}{6} + \pi k$ 则对应 $\tan x = +\tfrac{1}{\sqrt3}$，符号反了。

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   验证。 取 $k=0$：$\tan\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right) = -\tfrac{\sqrt3}{3}$，于是 $3\left(-\tfrac{\sqrt3}{3}\right) + \sqrt3 = -\sqrt3 + \sqrt3 = 0$ ✓。取 $k=1$：$x = \tfrac{5\pi}{6}$，而 $\tan\tfrac{5\pi}{6} = -\tfrac{\sqrt3}{3}$ ✓，正是预期中的第二象限解。