在全体实数 x 上解方程 cot x + 2 sin x − csc x = 0。

Step-by-step solution

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   先统一写成以正弦为分母的形式，并记下定义域。 用 $\cot x = \tfrac{\cos x}{\sin x}$、$\csc x = \tfrac{1}{\sin x}$：

   $\frac{\cos x - 1}{\sin x} + 2\sin x = 0$

   $\cot$ 和 $\csc$ 都要求 $\sin x \ne 0$，所以 $x \ne \pi k$ 从一开始就是题目的一部分 —— 这个限制到后面会直接决定答案。

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   两边乘 sin x。 因为在定义域上 $\sin x \ne 0$，这一步是合法的，不会丢解：

   $\cos x - 1 + 2\sin^2 x = 0$

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   化成只含一个三角函数。 代入 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$，方程就变成关于 $\cos x$ 的一元二次方程：

   $2\left(1-\cos^2 x\right) + \cos x - 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$

   （最后再整体乘 $-1$）。能不能化归到单一函数，正是三角方程能否用代数手段解出来的关键。

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   把这个二次式因式分解。 令 $c = \cos x$，

   $2c^2 - c - 1 = (2c+1)(c-1) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \cos x = -\frac12 \ \text{ 或 } \ \cos x = 1$

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   舍去违反定义域的那个根。 若 $\cos x = 1$，则 $x = 2\pi k$，此时 $\sin x = 0$，$\cot x$ 与 $\csc x$ 都没有定义。所以 $\cos x = 1$ 是增根，它是刚才两边乘 $\sin x$ 时引进来的 —— 这正是必须拿回原方程检验的那一类根。

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   解剩下的那个方程。 $\cos x = -\tfrac12$ 的参考角是 $\tfrac{\pi}{3}$，解落在第二、第三象限：

   $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \qquad \text{或} \qquad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

   取其中十个值代回 $\cot x + 2\sin x - \csc x$，结果在 $10^{-12}$ 量级内都是 $0$，且每一点上 $\sin x = \pm\tfrac{\sqrt3}{2} \ne 0$，所以全部有效。