在 [0, 2π) 上解 cos(2x − π/3) + cos x = 1/2，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   展开复合角。 用 $\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$，并代入 $\cos\tfrac\pi3=\tfrac12$、$\sin\tfrac\pi3=\tfrac{\sqrt3}{2}$： $\frac12\cos 2x+\frac{\sqrt3}{2}\sin 2x+\cos x = \frac12.$

2. 2

   把所有项都用 sin x 与 cos x 表示。 利用 $\cos 2x = 2c^2-1$、$\sin 2x = 2sc$（记 $c=\cos x$，$s=\sin x$）： $\frac{2c^2-1}{2}+\sqrt3\,sc+c = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad c^2+c-1 = -\sqrt3\,sc.$

3. 3

   两边平方消去正弦，同时记住风险。 把 $s^2$ 换成 $1-c^2$： $(c^2+c-1)^2 = 3c^2(1-c^2) \quad\Longrightarrow\quad 4c^4+2c^3-4c^2-2c+1 = 0.$ 平方会造出「满足四次方程但不满足原方程」的根，所以最后每个候选值都必须代回检验。

4. 4

   数值求解这个四次方程。 在 $[-1,1]$ 内它恰有两个根： $c \approx 0.3369592 \quad\text{与}\quad c \approx 0.8941126.$ 两个都不是漂亮的根式，所以答案只能是数值解。

5. 5

   把每个余弦值换成角度并筛选。 每个 $c$ 在 $[0,2\pi)$ 上对应两个角：$c=0.3369592$ 给出 $x=1.227111$ 或 $5.056074$；$c=0.8941126$ 给出 $x=0.464351$ 或 $5.818835$。代回原方程，只有 $x=1.227111$ 与 $x=5.818835$ 的结果是 $\tfrac12$——另外两个是平方引入的增根（它们满足的是符号翻转后的 $c^2+c-1=+\sqrt3 sc$）。

6. 6

   验算留下来的两个解。 当 $x=1.227111$：$\cos(1.407024)+\cos(1.227111) = 0.163041+0.336959 = 0.500000$。当 $x=5.818835$：$\cos(10.590472)+\cos(5.818835) = -0.394113+0.894113 = 0.500000$。在所给位数上两者都正确。