解方程 10.752 = 9.13 × 9.8 × 0.01 × cos α + 9.13 × 9.8 × sin α，求角 α。

Step-by-step solution

1. 1

   把重复出现的常数提出来。 两项都含有 $9.13\cdot9.8 = 89.474$，整个方程同除它，得 $0.01\cos\alpha_m + \sin\alpha_m = \frac{10.752}{89.474} = 0.12016899.$ 这就是标准的 $a\cos\alpha+b\sin\alpha=c$ 形式，其中 $a=0.01$，$b=1$。

2. 2

   引入辅助角。 把 $\sin\alpha_m+0.01\cos\alpha_m$ 写成 $R\sin(\alpha_m+\varphi)$，其中 $R = \sqrt{1^2+0.01^2} = \sqrt{1.0001} = 1.00005000,\qquad \tan\varphi = \frac{0.01}{1},\ \varphi = \arctan 0.01 = 0.5729387^\circ.$ 把两条正弦波合成一条，方程才有可能求出闭式解。

3. 3

   化归为一个正弦方程。 $\sin(\alpha_m+\varphi) = \frac{0.12016899}{1.00005000} = 0.12016298.$

4. 4

   反正弦的两个分支都要取。 在 $[0^\circ,360^\circ)$ 内，正弦方程有两个解：$\alpha_m+\varphi = 6.9015087^\circ \quad\text{或}\quad 180^\circ-6.9015087^\circ = 173.0984913^\circ.$ 这里要多留几位：辅助角和这个反正弦都要参与相减，任何一个有误差都会直接传到 $\alpha_m$ 上。

5. 5

   减去辅助角。 $\alpha_m = 6.9015087^\circ - 0.5729387^\circ = 6.32857^\circ \quad\text{或}\quad \alpha_m = 173.0984913^\circ - 0.5729387^\circ = 172.52555^\circ.$ 换成弧度分别是 $0.110454$ 和 $3.011139$。

6. 6

   两个根都代回原方程验算。 取 $\alpha_m = 6.32857^\circ$：$0.89474\cos + 89.474\sin = 0.88929+9.86271 = 10.75200$。取 $\alpha_m = 172.52555^\circ$：$0.89474(-0.9915030)+89.474(0.1300841) = -0.88714+11.63914 = 10.75200$。两个都精确吻合；实际问题里通常要的是第一个小角。