在 0 ≤ θ < 2π 上解方程 2sin(2θ + π/4) − 1 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先把正弦单独留下。

   $\sin\left(2\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}.$

2. 2

   把整个角换元，并同步变换区间。 令 $t=2\theta+\tfrac{\pi}{4}$。当 $\theta$ 在 $[0,2\pi)$ 上取遍时，$2\theta$ 在 $[0,4\pi)$ 上取遍，于是

   $\frac{\pi}{4}\le t<4\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{17\pi}{4}.$

   变换区间正是大家最容易跳过的一步——角被乘了 2，它会扫过两整圈，所以解的个数大约要翻一倍。

3. 3

   在这个拉长的区间里找出所有满足 sin t = 1/2 的 t。 一个周期内的解是 $t=\tfrac{\pi}{6}$ 和 $t=\tfrac{5\pi}{6}$；加上 $2\pi$ 的整数倍，再保留落在 $\left[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{17\pi}{4}\right)$ 内的：

   $t=\frac{5\pi}{6},\ \frac{13\pi}{6},\ \frac{17\pi}{6},\ \frac{25\pi}{6}.$

   注意 $t=\tfrac{\pi}{6}$ 要排除，因为 $\tfrac{\pi}{6}<\tfrac{\pi}{4}$ —— 那个相移确实把开头的一个解挤掉了。

4. 4

   把换元还原。 由 $t=2\theta+\tfrac{\pi}{4}$ 得 $\theta=\dfrac{t-\pi/4}{2}$。括号里通分到 $12$：

   $\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12},\quad \frac{13\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{23\pi}{12},\quad \frac{17\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{31\pi}{12},\quad \frac{25\pi}{6}-\frac{\pi}{4}=\frac{47\pi}{12}.$

5. 5

   各除以 2 就得到 θ。

   $\theta=\frac{7\pi}{24},\ \frac{23\pi}{24},\ \frac{31\pi}{24},\ \frac{47\pi}{24}.$

   四个都落在 $[0,2\pi)$ 内，因为 $\tfrac{47\pi}{24}<\tfrac{48\pi}{24}=2\pi$ ✓。

6. 6

   验算其中一个解。 取 $\theta=\tfrac{7\pi}{24}$：$2\theta+\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{7\pi}{12}+\tfrac{3\pi}{12}=\tfrac{10\pi}{12}=\tfrac{5\pi}{6}$，而 $2\sin\tfrac{5\pi}{6}-1=2(\tfrac12)-1=0$ ✓。相邻解之间的间隔交替为 $\tfrac{16\pi}{24}$ 和 $\tfrac{8\pi}{24}$，正是"每个周期两个解、周期重复两次"应有的规律。