从山顶看地面上一点 A 的俯角为 30°。沿直线坡面下行四分之三坡长后，看 A 的俯角变为 15°。若坡面与水平面成 θ 角，求 tanθ。

Step-by-step solution

1. 1

   建立坐标并把坡长标准化。 因为要求的是角，只有比值起作用，所以把整条坡长取为 $L=1$。此时山顶 $B$ 离地面的高度为

   $h=\sin\theta$

   沿坡面下行距离 $s$，会让人下降 $s\sin\theta$，同时朝 $A$ 水平靠近 $s\cos\theta$。

2. 2

   用第一次观测定出水平距离。 设 $d$ 为 $B$ 到 $A$ 的水平距离。在 $B$ 处的俯角是 $30^{\circ}$，所以

   $\tan 30^{\circ}=\frac{h}{d}=\frac{\sin\theta}{d}\quad\Longrightarrow\quad d=\sqrt3\,\sin\theta$

3. 3

   写出第二次观测。 下行 $\tfrac34$ 坡长后，观察者的高度是 $\sin\theta-\tfrac34\sin\theta=\tfrac14\sin\theta$，到 $A$ 的水平距离是 $d-\tfrac34\cos\theta$。于是

   $\tan 15^{\circ}=\frac{\tfrac14\sin\theta}{\sqrt3\sin\theta-\tfrac34\cos\theta}$

   未知量 $d$ 已经被消去，剩下的方程只含 $\theta$。

4. 4

   解出 tanθ。 交叉相乘，再把含 $\sin\theta$ 的项归到一起：

   $\tan 15^{\circ}\left(\sqrt3\sin\theta-\tfrac34\cos\theta\right)=\tfrac14\sin\theta$

   $\sin\theta\left(\sqrt3\tan 15^{\circ}-\tfrac14\right)=\tfrac34\tan 15^{\circ}\cos\theta$

   $\tan\theta=\frac{\tfrac34\tan 15^{\circ}}{\sqrt3\tan 15^{\circ}-\tfrac14}$

5. 5

   代入 tan 15° 的精确值。 由于 $\tan 15^{\circ}=2-\sqrt3$，

   $\tan\theta=\frac{3(2-\sqrt3)}{4\sqrt3(2-\sqrt3)-1}=\frac{3(2-\sqrt3)}{8\sqrt3-12-1}=\frac{6-3\sqrt3}{8\sqrt3-13}$

6. 6

   分母有理化。 上下同乘 $8\sqrt3+13$；分母变成 $(8\sqrt3)^{2}-13^{2}=192-169=23$，分子为

   $(6-3\sqrt3)(8\sqrt3+13)=48\sqrt3+78-72-39\sqrt3=9\sqrt3+6$

   $\boxed{\tan\theta=\frac{6+9\sqrt3}{23}\approx 0.9386}$

7. 7

   检查答案是否自洽。 数值上 $\theta=\arctan(0.9386)=43.19^{\circ}$。题目的几何设定要求 $A$ 落在坡脚之外，即 $d=\sqrt3\sin\theta>\cos\theta$，也就是 $\tan\theta>\tfrac{1}{\sqrt3}$，即 $\theta>30^{\circ}$——满足 ✓。代回验证：取 $\theta=43.19^{\circ}$，则 $d=\sqrt3(0.6845)=1.1854$，第二次观测给出 $\arctan\!\left(\tfrac{0.1711}{1.1854-0.5468}\right)=\arctan(0.2679)=15.00^{\circ}$ ✓。