利用三角恒等式化简 sin²θ + tan²θ + cos²θ。

Step-by-step solution

1. 1

   先调整顺序，把平方关系那一对放到一起。 加法可以交换，所以原式可以重排成

   $\left(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\right)+\tan^{2}\theta$

   在把任何东西换成正弦、余弦之前先认出 $\sin^{2}+\cos^{2}$ 这一对，才能把整道题压缩到两行。

2. 2

   用基本恒等式。

   $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$

   于是原式变成 $1+\tan^{2}\theta$。

3. 3

   认出第二个平方关系恒等式。 把 $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ 两边同除以 $\cos^{2}\theta$，得到

   $\tan^{2}\theta+1=\sec^{2}\theta$

4. 4

   写出答案。

   $\boxed{\sec^{2}\theta}$

   只要 $\tan\theta$ 与 $\sec\theta$ 有定义就成立，也就是 $\cos\theta\neq 0$。

5. 5

   取特殊角验算。 取 $\theta=60^{\circ}$：$\sin^{2}=0.75$，$\tan^{2}=3$，$\cos^{2}=0.25$，和为 $4$；而 $\sec^{2}60^{\circ}=\left(\tfrac{1}{0.5}\right)^{2}=4$ ✓。取 $\theta=45^{\circ}$：$0.5+1+0.5=2$，而 $\sec^{2}45^{\circ}=\left(\sqrt2\right)^{2}=2$ ✓。