化简 sin A / cot A − csc A · sin A。

Step-by-step solution

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   先把所有倒数函数都换成正弦和余弦。 $\cot$ 和 $\csc$ 混在一起时，唯一稳妥的第一步就是把它们都用 $\sin$ 和 $\cos$ 表示：$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A},\qquad \csc A=\frac{1}{\sin A}.$ 这样整个式子就统一成一种"语言"，该约掉的地方一眼就能看见。

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   化简第一项。 除以一个分数等于乘它的倒数：$\frac{\sin A}{\cot A}=\frac{\sin A}{\dfrac{\cos A}{\sin A}}=\sin A\cdot\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\sin^{2}A}{\cos A}.$ 它也等于 $\sin A\tan A$，这个形式值得记住。

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   化简第二项。 $\csc A\,\sin A=\frac{1}{\sin A}\cdot\sin A=1,$ 只要 $\sin A\neq 0$ 就成立。一个倒数函数乘上它自己对应的函数永远得 $1$——倒数关系讲的就是这件事。

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   把两个结果合起来。 $\frac{\sin A}{\cot A}-\csc A\,\sin A=\frac{\sin^{2}A}{\cos A}-1=\frac{\sin^{2}A-\cos A}{\cos A},$ 写紧凑一点就是 $\sin A\tan A-1$。再往下用平方关系也帮不上忙，因为分子里 $\sin^{2}A$ 和一次的 $\cos A$ 混在一起。

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   说明定义域并验算一个值。 结果要求 $\sin A\neq 0$（这样 $\cot$ 和 $\csc$ 才有意义），还要求 $\cos A\neq 0$（分母不为零），所以 $A$ 必须避开 $\tfrac{\pi}{2}$ 的所有整数倍。取 $A=\tfrac{\pi}{3}$ 检验：原式是 $\dfrac{\sin 60^\circ}{\cot 60^\circ}-\csc 60^\circ\sin 60^\circ=\dfrac{0.8660254}{0.5773503}-1=1.5-1=0.5$，化简后的式子给出 $\dfrac{0.75}{0.5}-1=1.5-1=0.5$。