三角形中，长为 13 的边对着 32° 角，长为 23 的边对着角 A，边 x 对着第三个角。若 A 为锐角，求角 A 和边 x 的长度。

Step-by-step solution

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   先把每条边和它的对角配好。 正弦定理把一条边和它所对的角配成一对：

   $\frac{\sin A}{23}=\frac{\sin 32^\circ}{13}=\frac{\sin C}{x}.$

   把边和角配错，是这类题最主要的翻车方式——始终盯住「对着」，而不是「挨着」。

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   用第一组比例解出 sin A。

   $\sin A=\frac{23\sin 32^\circ}{13}=\frac{23(0.529919)}{13}=\frac{12.18814}{13}=0.937549.$

   算出来的值小于 $1$，这本身就是有用的信息：一旦超过 $1$，这样的三角形就不存在。

3. 3

   取反正弦——并正视多解问题。 计算器给出

   $A=\arcsin(0.937549)=69.64^\circ,$

   但 $\sin(180^\circ-69.64^\circ)=\sin(110.36^\circ)$ 是同一个值，所以从算术上讲钝角三角形也是可能的。这就是 SSA 的两解情形。题目说明「看上去是锐角的角可以当作锐角」，因此取

   $A\approx 69.6^\circ.$

4. 4

   求第三个角。

   $C=180^\circ-32^\circ-69.64^\circ=78.36^\circ.$

5. 5

   再用一次正弦定理求 x。

   $x=\frac{13\sin C}{\sin 32^\circ}=\frac{13(0.979421)}{0.529919}=\frac{12.73247}{0.529919}=24.03.$

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   检查边与角的大小顺序。 最大的角是 $C=78.4^\circ$，最长的边是 $x=24.03$；最小的角是 $32^\circ$，最短的边是 $13$。边和角的顺序一致，本来也应该如此。（附带一提，被舍弃的钝角那一支会给出 $A=110.4^\circ$、$x=14.98$。）