在三角形 ABC 中，(cos B + cos A cos C)/(sin B cos C) = a√3 / b，且 a = 3，c = 2√3。求 sin A。

Step-by-step solution

1. 1

   用内角和把分子里的 B 消掉。 任意三角形中 $A+B+C=\pi$，所以 $B=\pi-(A+C)$，于是

   $\cos B=-\cos(A+C)=\sin A\sin C-\cos A\cos C.$

   这一步替换就是全部诀窍——正是它让那个别扭的分子塌缩下来。

2. 2

   化简分子。

   $\cos B+\cos A\cos C=\left(\sin A\sin C-\cos A\cos C\right)+\cos A\cos C=\sin A\sin C.$

   于是左边变成

   $\frac{\sin A\sin C}{\sin B\cos C}.$

3. 3

   用正弦定理把右边也换成正弦。 因为 $\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sin A}{\sin B}$，

   $\frac{a\sqrt{3}}{b}=\frac{\sqrt{3}\sin A}{\sin B}.$

4. 4

   约分并求出 C。 令两边相等，约去公共因子 $\dfrac{\sin A}{\sin B}$（在三角形中它不为零）：

   $\frac{\sin C}{\cos C}=\sqrt{3}\ \Longrightarrow\ \tan C=\sqrt{3}\ \Longrightarrow\ C=\frac{\pi}{3},$

   因为 $C$ 落在 $(0,\pi)$ 内，而且原式有意义要求 $\cos C\neq 0$。

5. 5

   代入已知边长，再用一次正弦定理。 由 $a=3$、$c=2\sqrt3$ 以及 $\sin C=\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}$：

   $\sin A=\frac{a\sin C}{c}=\frac{3\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2\sqrt3}=\frac{\frac{3\sqrt3}{2}}{2\sqrt3}=\frac{3}{4}.$

6. 6

   检验这个三角形是否合理。 因为 $a=3<c=2\sqrt3\approx 3.464$，角 $A$ 必然小于 $C=60^\circ$；确实 $\arcsin\tfrac34\approx 48.6^\circ<60^\circ$，说明取锐角是对的，不会再冒出一个多解。