求 arccos(1/√3)，同时给出弧度值和角度值。

Step-by-step solution

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   先把这个记号翻译成一个方程。 求 $\arccos(1/\sqrt3)$，就是在主值区间 $[0,\pi]$ 内找出唯一那个角 $\theta$，使得

   $\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}$

   正是这个区间限制，才让答案是一个确定的数，而不是无穷多个角。

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   先拿特殊角比一比。 需要熟记的那几个余弦值是

   $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\approx0.8660,\quad \cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\approx0.7071,\quad \cos60^\circ=\frac12$

   而我们的输入是 $1/\sqrt3\approx0.57735$，一个都对不上，所以答案不会是 $\pi$ 的某个整齐倍数。

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   用夹逼先把角的范围定下来。 因为 $0.5<0.57735<0.7071$，而余弦在 $[0,\pi]$ 上是递减的，所以这个角满足

   $45^\circ<\theta<60^\circ$

   这个范围就是对计算器结果最省事的一道合理性检验。

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   算出数值。 保留四位小数，

   $\theta=\arccos(0.577350\ldots)=0.9553\text{ rad}$

   再用 $180^\circ/\pi$ 换算成角度：

   $\theta=0.9553166\times\frac{180}{\pi}=54.7356^\circ$

   它确实落在 $45^\circ$ 到 $60^\circ$ 之间。

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   顺带说说这个角究竟从哪来。 $54.7356^\circ$ 正是正方体的体对角线与棱之间的夹角，而与之相关的 $109.47^\circ$ 则是正四面体的键角——所以这个反余弦值在晶体学和化学里反复出现。

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   两种单位都写出来。

   $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)\approx0.9553\text{ rad}\approx54.74^\circ$