求满足 sin x = √3/2 的全部实数。

Step-by-step solution

1. 1

   先求参考角。 参考角就是正弦绝对值相同的那个锐角：

   $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\quad\Longrightarrow\quad \text{参考角}=\frac{\pi}{3}$

2. 2

   确定该取哪些象限。 $\tfrac{\sqrt3}{2}$ 是正数，而 $\sin x>0$ 出现在第一、第二象限。所以在一个周期 $[0,2\pi)$ 内恰好有两个解——只要正弦的值严格介于 $-1$ 与 $1$ 之间，三角方程在一个周期内总有两个解。

3. 3

   写出两个基本解。 第一象限就取参考角本身；第二象限取 $\pi$ 减去它：

   $x=\frac{\pi}{3},\qquad x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$

4. 4

   按周期推广。 正弦的周期是 $2\pi$，所以全部解都由加上 $2\pi$ 的整数倍得到：

   $\boxed{\left\{x\ \middle|\ x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\ \text{ 或 }\ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\right\}}$

5. 5

   验证两族解，并给出紧凑写法。 $\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}$ ✓，$\sin\tfrac{2\pi}{3}=\sin\left(\pi-\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt3}{2}$ ✓。这两族解也可以合写成一个式子 $x=(-1)^{n}\tfrac{\pi}{3}+\pi n$（$n\in\mathbb{Z}$），生成的集合完全相同。但如果只给 $\tfrac{\pi}{3}$ 加 $\pi n$ 而不是 $2\pi n$，就会错误地把 $x=\tfrac{4\pi}{3}$ 也算进来，而那里 $\sin x=-\tfrac{\sqrt3}{2}$。