求满足方程 sin x = −sqrt(2)/2 的全部实数。

Step-by-step solution

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   先由绝对值大小求出参考角。 暂时不看符号：$\sin\theta = \tfrac{\sqrt2}{2}$ 在 $\theta = \tfrac{\pi}{4}$ 处成立（即等腰直角三角形里的 $45^{\circ}$ 角）。所以参考角是 $\tfrac{\pi}{4}$。

2. 2

   再由符号确定象限。 正弦是单位圆上的 $y$ 坐标，所以 $\sin x < 0$ 意味着 $x$ 落在第三或第四象限。每转一圈恰好有两个这样的角，两个都必须写进答案。

3. 3

   写出两个基本角。 第三象限的角是 $\pi + \tfrac{\pi}{4}$；第四象限的角是 $2\pi - \tfrac{\pi}{4}$：

   $x = \frac{5\pi}{4} \qquad \text{和} \qquad x = \frac{7\pi}{4}$

4. 4

   按周期推广到全部解。 正弦的周期是 $2\pi$，所以给每个基本角加上 $2\pi n$：

   $\left\{x \;\middle|\; x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \ \text{ 或 } \ x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}\right\}$

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   验证两族解。 $\sin\tfrac{5\pi}{4} = -\tfrac{\sqrt2}{2}$ ✓，$\sin\tfrac{7\pi}{4} = -\tfrac{\sqrt2}{2}$ ✓。以 $\tfrac{4\pi}{3}$ 和 $\tfrac{5\pi}{3}$ 为基础的干扰答案不对，因为它们给出 $\sin x = -\tfrac{\sqrt3}{2} \approx -0.866$，而不是 $-0.7071$。以 $\tfrac{3\pi}{4}$ 为基础的答案也不对，因为那个角在第二象限，那里正弦为正。