密度 2.2 g/cm^3 的石英纤维与密度 1.25 g/cm^3 的聚酯树脂复合，石英占复合材料重量的 67%。已知 Ef = 73 GPa、Em = 2.72 GPa、Gf = 8.4 GPa、Gm = 2.15 GPa，求横向模量 E22 与面内剪切模量 G12，结果保留一位小数。

Step-by-step solution

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   先把重量分数换算成体积分数。 混合律是按体积分数写的，所以那个按重量算的 $67\%$ 必须先换算。取 $W_f=0.67$、$W_m=0.33$，

   $\frac{W_f}{\rho_f}=\frac{0.67}{2.2}=0.304545,\qquad \frac{W_m}{\rho_m}=\frac{0.33}{1.25}=0.264000$

   $V_f=\frac{0.304545}{0.304545+0.264000}=\frac{0.304545}{0.568545}=0.5357,\qquad V_m=0.4643$

   注意纤维从按重量的 $67\%$ 掉到了按体积只有 $53.6\%$，因为石英是密度更大的那一相。

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   横向要用倒（Reuss）混合律。 载荷横穿纤维时，纤维和基体承受相同的应力，应变则相加，所以按比例相加的是柔度而不是刚度：

   $\frac{1}{E_{22}}=\frac{V_f}{E_f}+\frac{V_m}{E_m}$

   在这里套用正混合律 $E=V_fE_f+V_mE_m$ 是最经典的错误；那个形式只适用于沿纤维方向。

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   算 E₂₂。

   $\frac{V_f}{E_f}=\frac{0.5356572}{73}=0.007338,\qquad \frac{V_m}{E_m}=\frac{0.4643428}{2.72}=0.170714$

   $\frac{1}{E_{22}}=0.178052\quad\Longrightarrow\quad E_{22}=5.6163\ \text{GPa}$

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   剪切模量套同一条规则。

   $\frac{1}{G_{12}}=\frac{V_f}{G_f}+\frac{V_m}{G_m}=\frac{0.5356572}{8.4}+\frac{0.4643428}{2.15}=0.063769+0.215973=0.279742$

   $G_{12}=3.5747\ \text{GPa}$

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   保留一位小数。

   $\boxed{E_{22}=5.6\ \text{GPa},\qquad G_{12}=3.6\ \text{GPa}}$

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   核对两个结果是不是落在物理该有的位置上。 倒混合律的结果总是落在两个组分值之间，而且离更弱的那个近得多：$E_{22}=5.6$ GPa 贴着 $E_m=2.72$ GPa，离 $E_f=73$ GPa 远得很；$G_{12}=3.6$ GPa 也落在 $2.15$ 与 $8.4$ GPa 之间。作为对照，纵向刚度会是 $V_fE_f+V_mE_m=0.5357(73)+0.4643(2.72)=40.4$ GPa——足足硬七倍，单向层合板之所以各向异性这么强，原因正在于此。