解方程求 x：1000 = (35)(0.02)(x − 293.15) + (0.6)(5.67e−8)(0.02)(x⁴ − 293.15⁴)。

Step-by-step solution

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   先把常数并成两个系数。 把对流一侧和辐射一侧的因子各自乘起来：

   $35 \times 0.02 = 0.7, \qquad 0.6 \times 5.67\times10^{-8} \times 0.02 = 6.804\times10^{-10}$

   于是方程变为

   $1000 = 0.7\,(x - 293.15) + 6.804\times10^{-10}\left(x^4 - 293.15^4\right)$

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   展开成标准形式的四次方程。 由 $293.15^4 = 7.38515\times10^{9}$，两处常数贡献分别是 $0.7 \times 293.15 = 205.205$ 和 $6.804\times10^{-10} \times 7.38515\times10^{9} = 5.0249$：

   $6.804\times10^{-10}\,x^4 + 0.7x - 1210.23 = 0$

3. 3

   千万别停在线性估算上——这里正是陷阱所在。 若把四次项直接丢掉，会得到

   $x \approx \frac{1210.23}{0.7} \approx 1728.9$

   可是把它代回去就知道为什么不行了：$6.804\times10^{-10}(1728.9)^4 \approx 6079\ \text{W}$，是整个散热量的六倍。在这个温度下辐射项是主导项，根本不是可以忽略的小量，所以 $1728.9\ \text{K}$ 高得离谱。

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   改用数值方法解这个四次方程。 当 $x > 0$ 时左端关于 $x$ 严格单调递增（$0.7x$ 和 $x^4$ 都在增大），因此物理上的根有且只有一个，二分法必然可靠收敛。在 $300$ 与 $5000$ 之间取初始区间做二分，得到

   $x \approx 947.04\ \text{K}$

5. 5

   把两种散热方式拆开来验根。 在 $x = 947.04\ \text{K}$ 处：

   $\text{对流} = 0.7(947.04 - 293.15) = 457.7\ \text{W}$

   $\text{辐射} = 6.804\times10^{-10}\left(947.04^4 - 293.15^4\right) = 542.3\ \text{W}$

   而 $457.7 + 542.3 = 1000.0\ \text{W}$，正好等于要求的散热量。辐射承担了负荷的 $54\%$——这再次说明它根本不可能被丢掉。

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   写出答案并说明它的物理含义。

   $x \approx 947\ \text{K} \ (\approx 674\ ^\circ\text{C})$

   一般性的教训是：只要一个平衡式里同时出现线性的对流项和 $T^4$ 的辐射项，就必须老老实实解这个四次方程，因为辐射增长得太陡，温升还不到几百开尔文时它就已经反超对流了。