一层芳纶纤维／环氧树脂铺层的纤维体积分数为 75%。已知纤维剪切模量为 27 GPa、基体剪切模量为 6 GPa，用混合律的倒数形式求面内剪切模量 G12，结果保留两位小数。

Step-by-step solution

1. 1

   选串联（倒数）形式的公式。 面内剪切并不沿纤维长度方向加载，所以纤维和基体承受相同的剪应力，而它们的剪应变相加。这是一种串联布置，因此相加的是柔度而不是模量：

   $\frac{1}{G_{12}}=\frac{V_f}{G_f}+\frac{V_m}{G_m}.$

2. 2

   写出两个体积分数。 芳纶占 $75\%$，所以

   $V_f=0.75,\qquad V_m=1-0.75=0.25.$

3. 3

   算出两项柔度。

   $\frac{V_f}{G_f}=\frac{0.75}{27}=0.0277778\ \text{GPa}^{-1},\qquad \frac{V_m}{G_m}=\frac{0.25}{6}=0.0416667\ \text{GPa}^{-1}.$

   注意基体虽然只占四分之一的体积，贡献的那一项却更大——在串联模型里，软的那一相说了算。

4. 4

   相加后取倒数。

   $\frac{1}{G_{12}}=0.0277778+0.0416667=0.0694444\ \text{GPa}^{-1},$
   $G_{12}=\frac{1}{0.0694444}=14.40\ \text{GPa}.$

   这个倒数取得很干净：$0.0694444=\tfrac{1}{14.4}$。

5. 5

   检查结果是否落在物理上应有的范围内。 $G_{12}$ 必须介于 $G_m=6$ 与 $G_f=27$ 之间，而且更靠近小的那个值。$14.40$ 两条都满足。作为对比，并联（普通混合律）公式会给出 $0.75(27)+0.25(6)=21.75\ \text{GPa}$——刚度大得多，而且对剪切来说用错了模型。