悬臂梁 AB 长 5 m，B 端固定。自由端 A 处作用一个向下的 1800 kN 集中力，靠近固定端的 4 m 范围（从 A 量起 1 m 到 5 m）上作用 500 kN/m 的均布荷载。求最大剪力和最大弯矩，并说明剪力图与弯矩图的形状。

Step-by-step solution

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   先想清楚极值必然出现在哪里。 悬臂梁只承受向下的荷载时，剪力和弯矩都从自由端的零开始单调增大，到固定端取到最大值。所以这两个最大值可以直接在 $B$ 处算出来，不必再去找中间的极值点。

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   把均布荷载换成它的合力。 均布荷载作用在 $4$ m 长度上：

   $W=wL_u=500\times 4=2000\ \text{kN}$

   合力作用在这段的形心处，即距 $B$ 端 $2$ m（也就是距 $A$ 端 $3$ m）。用合力去求支座反力和固端弯矩是完全合法的，但画图时仍然必须按分布荷载分段来写。

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   求固定端的支座反力。 由竖向平衡得反力

   $R_B=P+W=1800+2000=3800\ \text{kN}\ (\uparrow)$

   再对 $B$ 取矩，由力矩平衡得固端弯矩

   $M_B=P\times 5+W\times 2=1800(5)+2000(2)=9000+4000=13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}$

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   从自由端开始画剪力图。 以 $A$ 为原点量取 $x$：

   $0\le x\le 1:\quad V(x)=1800\ \text{kN（常数）}$

   $1\le x\le 5:\quad V(x)=1800+500(x-1)\ \text{（一条直线）}$

   所以剪力图在头一米内是 $1800$ kN 的水平线，之后是一条上升的斜直线，到 $B$ 处升至 $1800+500(4)=3800$ kN，再由支座反力把图形拉回零。

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   接着画弯矩图。 因为在数值上 $M(x)=\int_0^x V\,dx$（悬臂梁上侧受拉）：

   $0\le x\le 1:\quad M(x)=1800x\ \text{（线性，末端达到 }1800\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m，对应 }x=1)$

   $1\le x\le 5:\quad M(x)=1800x+250(x-1)^2\ \text{（抛物线）}$

   在 $x=5$ 处：$M=9000+250(16)=9000+4000=13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}$，与用平衡条件算出的固端弯矩一致。

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   写出两个最大值。

   $V_{\max}=3800\ \text{kN},\qquad M_{\max}=13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}$

   二者都出现在固定端 $B$，而在自由端 $A$ 处都为零。

   $\boxed{V_{\max}=3800\ \text{kN},\quad M_{\max}=13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}}$

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   用两条不同路线互相印证。 $B$ 处的弯矩被算了两遍——一次用静力平衡（$P\cdot 5+W\cdot 2$），一次用对剪力图积分（$1800x+250(x-1)^2$ 在 $x=5$ 处取值）——两次都得到 $13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}$。平衡法的结果与积分出来的图形吻合，正是检验两张图画得自不自洽的标准办法。