求底面半径为 2.2 米、轴截面顶角为 60 度的圆锥的体积。

Step-by-step solution

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   先看看顶角能给我们什么。 体积公式 $V = \tfrac13\pi r^2 h$ 需要高，而题目并没有直接给。轴截面是一个顶角为 $60^{\circ}$ 的等腰三角形；轴把它平分成两个直角三角形，半顶角为

   $\frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$

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   在这个直角三角形里把半径和高联系起来。 半顶角在锥顶处，半径是它的对边，高是它的邻边：

   $\tan 30^{\circ} = \frac{r}{h} \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{r}{\tan 30^{\circ}} = r\sqrt{3}$

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   算出高。

   $h = 2.2\sqrt{3} = 3.810512\ \text{m}$

   可以看出这个圆锥的高比它的底面半径还大——$60^{\circ}$ 的顶角算是相当尖的。

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   代入体积公式。

   $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (2.2)^2 (3.810512) = \frac{1}{3}\pi (4.84)(3.810512)$

   $V = 19.3133\ \text{m}^3$

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   写出精确形式并做合理性检验。 精确地说，$V = \tfrac13\pi r^3\sqrt3 = \tfrac{\sqrt3}{3}\pi (2.2)^3 = \tfrac{\sqrt3\,\pi}{3}(10.648) \approx 19.313\ \text{m}^3$。检验一下：同底同高的外接圆柱容积是 $\pi r^2 h = 57.94\ \text{m}^3$，而圆锥恰好是它的三分之一——$19.31\ \text{m}^3$。