一个斜圆柱的轴截面是边长 2 cm、角为 60° 的菱形，求它的体积。

Step-by-step solution

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   先记住：倾斜并不改变体积公式。 由祖暅原理（卡瓦列里原理），对任何圆柱——不论正的还是斜的——都有

   $V = (\text{底面积}) \times (\text{高})$

   其中的高要垂直于两个底面来量，而不是沿着倾斜的轴量。

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   弄清「轴截面」是什么。 它是过轴且垂直于底面的平面所截出的截面，面积为

   $A_{\text{轴截面}} = (\text{底面直径}) \times (\text{高}) = 2r \cdot h$

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   算出菱形的面积。 边长为 $a$、夹角为 $\varphi$ 的菱形，

   $A_{\text{菱形}} = a^2 \sin\varphi = 2^2 \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\ \text{cm}^2$

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   把两者联系起来。 令 $2rh = 2\sqrt{3}$ 得

   $rh = \sqrt{3}$

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   再用菱形的条件把 $r$ 和 $h$ 分别定下来。 轴截面的两组边长分别是底面直径 $2r$ 和母线长 $L$。菱形四边相等，所以

   $2r = L = a = 2 \implies r = 1,\qquad L = 2$

   于是垂直高为 $h = L\sin\varphi = 2\sin 60^\circ = \sqrt{3}$。

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   代入体积公式。

   $V = \pi r^2 h = \pi (1)^2 \sqrt{3} = \sqrt{3}\,\pi \approx 5.44\ \text{cm}^3$

   顺手核对一下一致性：$2rh = 2(1)(\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$，与第 3 步算出的菱形面积吻合。