求直径为 2.2 米、顶角为 60 度的圆锥的体积。

Step-by-step solution

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   先把直径换成半径。

   $r=\frac{d}{2}=\frac{2.2}{2}=1.1\ \text{m}$

   体积公式用的是半径，所以这一步必须走在前面。

2. 2

   弄清「60 度圆锥」指的是什么。 通行的约定是：所给的角是轴截面（沿轴把圆锥剖开看到的那个三角形）的全顶角。轴恰好把它平分，所以尖端处的半顶角是

   $\frac{60^{\circ}}{2}=30^{\circ}$

3. 3

   由半顶角求高。 在由轴、底面半径和母线围成的直角三角形里，半径是 $30^{\circ}$ 半顶角的对边，高是它的邻边：

   $\tan 30^{\circ}=\frac{r}{h}\quad\Rightarrow\quad h=\frac{r}{\tan 30^{\circ}}=r\sqrt3=1.1\sqrt3\approx 1.9052\ \text{m}$

   用 $\tan 30^{\circ}=1/\sqrt3$ 可以让答案保持精确。

4. 4

   套圆锥体积公式。

   $V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi(1.1)^2\left(1.1\sqrt3\right)=\frac{1.331\sqrt3}{3}\pi\ \text{m}^3$

   因为 $(1.1)^2=1.21$，$1.21\times 1.1=1.331$。

5. 5

   算出数值。 取 $\sqrt3=1.7320508$，

   $V=\frac{1.331(1.7320508)}{3}\pi=0.7684532\pi\approx 2.4142\ \text{m}^3$

6. 6

   用外接圆柱验算，并指出这里的歧义。 同半径同高的圆柱体积是 $\pi r^2h=\pi(1.21)(1.9052)=7.2425$ m$^3$，圆锥恰好是它的三分之一：$7.2425/3=2.4142$ ✓。补充一句：如果那个 $60^{\circ}$ 本意是半顶角，那么 $h=1.1/\tan 60^{\circ}=0.6351$ m，$V\approx 0.8047$ m$^3$ —— 相差三倍，可见把约定讲清楚有多重要。