把柱坐标 (r, θ, z) = (2, 30°, 5) 化为直角坐标。

Step-by-step solution

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   回忆换算公式。 柱坐标就是 $xy$ 平面上的极坐标，再配上一个原封不动的高度：

   $x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z$

   第三个坐标完全不用动——整个换算都发生在平面里。

2. 2

   代入 $30^\circ$ 的精确三角函数值。

   $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin 30^\circ=\frac12$

   用精确根式而不是小数，能让答案保持精确。

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   算出 $x$ 和 $y$。

   $x=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\approx 1.7321,\qquad y=2\cdot\frac12=1$

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   把高度照搬过来，写出这个点。

   $(x,y,z)=\left(\sqrt3,\,1,\,5\right)\approx(1.7321,\,1,\,5)$

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   反过来换算一次做检验。 径向距离 $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{3+1}=2=r\;\checkmark$，角度 $\arctan\!\left(\tfrac{1}{\sqrt3}\right)=30^\circ\;\checkmark$——落在第一象限，正与 $x$、$y$ 都为正的要求一致。两个回代检验都确认换算无误。