三角形的两条边长分别为 3 和 5，第三条边的长是方程 x 的平方减 6x 加 8 等于 0 的根。求这个三角形的周长。

Step-by-step solution

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   先解方程，得到两个候选值。 找两个数使它们的积为 $8$、和为 $-6$，即可因式分解：

   $x^{2}-6x+8=(x-2)(x-4)=0\ \Longrightarrow\ x=2\ \text{或}\ x=4.$

   两个根都是正数，所以「长度必须为正」这道明显的筛子把它们都放过去了——而这道题的陷阱恰恰就设在这里。

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   别忘了方程本身并不知道的那个约束。 三个正数能构成三角形，前提是每条边都小于另外两条之和。已知的两边是 $3$ 和 $5$，所以第三边 $x$ 必须满足

   $5-3<x<5+3,\qquad\text{即}\qquad 2<x<8.$

3. 3

   检验 $x=2$。 此时 $3+2=5$，恰好等于剩下那条边，而不是大于它。这三条线段会摊平成一条直线，成为一个面积为零的退化图形，所以 $x=2$ 必须舍去。

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   检验 $x=4$。 三个不等式逐一核对：$3+5=8>4$，$3+4=7>5$，$5+4=9>3$。全都严格成立，所以边长为 $3$、$4$、$5$ 的三角形确实存在——而且正是那个熟悉的直角三角形，因为 $3^2+4^2=5^2$。

5. 5

   算周长。 只有一个根可用，所以答案是唯一的：

   $P=3+5+4=12.$

   答成「$10$ 或 $12$」是最典型的错误：那是把两个根照单全收、没有用三角形三边关系筛过的结果。