把 x² + 8x = -4y - 8 化成标准形式，并指出该抛物线的顶点、焦点、对称轴和准线。

Step-by-step solution

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   先决定对哪个变量配方。 式子里只有 $x$ 带平方，所以这是一条竖直方向的抛物线，属于 $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ 这一族。把含 $x$ 的项归到一边、让 $y$ 在另一边保持一次，正是这个形式所要求的。

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   对 $x$ 配方。 一次项系数 $8$ 的一半是 $4$，而 $4^2 = 16$，所以两边同加 $16$ 以保持等式平衡：

   $x^2 + 8x + 16 = -4y - 8 + 16$

   $(x+4)^2 = -4y + 8$

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   把右边分解，好把 $4p$ 和 $k$ 显出来。 提出 $-4$，方程就成了标准形式：

   $(x+4)^2 = -4(y-2)$

   与 $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ 对照，得 $h=-4$、$k=2$、$4p=-4$，所以 $p=-1$。$p$ 为负说明抛物线开口向下。

4. 4

   直接读出顶点和对称轴。 顶点是 $(h,k) = (-4,\,2)$，对称轴是过顶点的竖直直线 $x=-4$。曲线上每一点都关于这条线对称。

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   用 $p$ 定出焦点和准线。 焦点在顶点内侧距离 $|p|$ 处，准线则在外侧同样的距离上：

   $\text{焦点} = (h,\ k+p) = (-4,\ 1), \qquad \text{准线：} y = k - p = 3$

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   用抛物线的定义检验。 曲线上任一点到焦点与到准线的距离必须相等。取 $x=0$，此时 $y=-2$：它到焦点 $(-4,1)$ 的距离是 $\sqrt{4^2+3^2}=5$，到直线 $y=3$ 的距离是 $|-2-3| = 5$。两者相等，焦点和准线都得到了确认。