两张完全相同的正方形纸片，每张的对角线都是 24 cm。把它们上下叠放，使重叠区域本身也是一个正方形，边为 AB。若整个图形覆盖的总面积是 384 平方厘米，求 AB 的长。

Step-by-step solution

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   用对角线公式求正方形的面积。 由 $d=s\sqrt2$ 得 $s^2=\tfrac{d^2}{2}$，所以每张纸的

   $\text{面积}=\frac{1}{2}(24)^2=\frac{576}{2}=288\ \text{cm}^2$

   注意面积是按 $d^2$ 变化的：把对角线从 $12$ 加倍到 $24$，面积会变成四倍。

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   用容斥原理。 覆盖面积把公共区域只算一次，而不是两次：

   $\text{覆盖面积}=\text{面积}_1+\text{面积}_2-\text{重叠面积}$

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   解出重叠面积。 纸片总面积是 $288+288=576\ \text{cm}^2$，而实际被覆盖的只有 $384\ \text{cm}^2$：

   $\text{重叠面积}=576-384=192\ \text{cm}^2$

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   由于重叠区域是正方形，直接开平方。

   $AB=\sqrt{192}\ \text{cm}$

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   化简根式。 把最大的完全平方因子提出来：$192=64\times3$，而 $\sqrt{64}=8$，所以

   $AB=8\sqrt3\approx13.86\ \text{cm}$

   和 $18$ cm 那个版本里冒出 $\sqrt{78}$ 的情形不同，这个根式化得很干净。

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   检查合理性。 每张纸的边长是 $\sqrt{288}\approx16.97$ cm，而 $13.86<16.97$ ✓，所以重叠部分确实塞得进一张纸里。重叠占每张纸的 $\tfrac{192}{288}=\tfrac{2}{3}$——虽然偏大，但完全可能 ✓。