两张完全相同的正方形纸片，对角线都是 18 cm。把它们叠放在一起，使重叠部分也是一个正方形，边长为 AB。若整个图形覆盖的总面积为 246 平方厘米，求 AB 的长。

Step-by-step solution

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   直接由对角线求出每个正方形的面积。 对边长为 $s$ 的正方形，对角线为 $d=s\sqrt2$，所以 $s^2=\dfrac{d^2}{2}$。于是面积就是对角线平方的一半 —— 不必先把边长算出来：

   $\text{面积}=\frac{1}{2}d^2=\frac{1}{2}(18)^2=\frac{324}{2}=162\ \text{cm}^2$

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   列出容斥关系。 两块区域重叠时，实际覆盖的面积把公共部分只算一次：

   $\text{覆盖面积}=\text{面积}_1+\text{面积}_2-\text{重叠面积}$

   这个恒等式就是整道题的发动机。

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   解出重叠面积。 两张纸加起来有 $162+162=324\ \text{cm}^2$ 的纸，却只覆盖了 $246\ \text{cm}^2$：

   $\text{重叠面积}=324-246=78\ \text{cm}^2$

   少掉的这 $78\ \text{cm}^2$ 正是被覆盖了两次的那块区域。

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   把重叠面积换成边长。 题目说重叠部分本身是正方形，所以它的边长就是面积的平方根：

   $AB=\sqrt{78}\ \text{cm}$

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   化简并求近似值。 $78=2\times3\times13$ 不含平方因数，所以 $\sqrt{78}$ 无法再化简：

   $AB=\sqrt{78}\approx8.83\ \text{cm}$

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   检查这个答案在几何上是否可能。 每张纸的边长是 $\sqrt{162}\approx12.73$ cm，而重叠部分的边长 $8.83$ cm 比它小 ✓ —— 重叠部分不可能超过纸片本身。另外 $78<162$，说明重叠不到每张纸的一半，与「部分重叠」相符 ✓。