已知△ABC 是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形。点 H 在边 AB 上，点 D 在射线 BC 的反向延长线上，且 BH = BD。求证：DH ⊥ AC，且 CH ⊥ AD。

Step-by-step solution

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   在直角顶点建立坐标系 —— 正是这一步让两问都变成例行计算。 因为直角在 $B$、两条直角边又相等，把 $B$ 放在原点、两腰放在坐标轴上不损失任何一般性，而且能把每个条件都变成坐标：

   $B=(0,0),\quad A=(a,0),\quad C=(0,a),\qquad a>0$

   $H$ 在线段 $AB$ 上，故 $H=(t,0)$，其中 $0<t\le a$。$D$ 在射线 $BC$ 的反向射线上，即在 $y$ 轴负半轴上，故 $D=(0,-d)$，其中 $d>0$。条件 $BH=BD$ 就是 $t=d$，于是

   $H=(t,0),\qquad D=(0,-t)$

   注意现在整个图形只由一个参数 $t$ 决定。

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   用数量积证 (a)。 先写出两个方向向量：

   $\vec{DH}=H-D=(t-0,\,0-(-t))=(t,\,t),\qquad \vec{AC}=C-A=(0-a,\,a-0)=(-a,\,a)$

   它们的数量积是

   $\vec{DH}\cdot\vec{AC}=t(-a)+t(a)=-at+at=0$

   两个向量都不是零向量（$t>0$ 且 $a>0$），数量积为零就意味着两直线垂直，所以 $DH\perp AC$。

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   再从角度重读 (a)，看清它为什么必然成立。 三角形 $BHD$ 在 $B$ 处是直角（两坐标轴互相垂直），两腰 $BH=BD$，所以它是等腰直角三角形，$\angle BHD=\angle BDH=45^{\circ}$。三角形 $ABC$ 同样是等腰直角三角形，故 $\angle BAC=\angle BCA=45^{\circ}$。于是直线 $DH$ 与直线 $BC$ 成 $45^{\circ}$，直线 $AC$ 在另一侧也与它成 $45^{\circ}$，两个 $45^{\circ}$ 加起来正是 $90^{\circ}$。这个垂直关系，本质上说的是两个等腰直角三角形共用一对互相垂直的直线。

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   用同一套坐标证 (b)。 这回换另一组配对：

   $\vec{CH}=H-C=(t,\,-a),\qquad \vec{AD}=D-A=(-a,\,-t)$

   于是

   $\vec{CH}\cdot\vec{AD}=t(-a)+(-a)(-t)=-at+at=0$

   因此 $CH\perp AD$。也可以用斜率来看：$m_{CH}=\dfrac{0-a}{t-0}=-\dfrac{a}{t}$，$m_{AD}=\dfrac{-t-0}{0-a}=\dfrac{t}{a}$，两者之积为 $-\dfrac{a}{t}\cdot\dfrac{t}{a}=-1$，这正是两直线垂直的斜率判据。但斜率写法要求 $t\neq 0$，而数量积写法不需要，所以数量积的论证更干净。

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   指出背后的结构原因，并做数值验证。 第 (b) 问其实是垂心的另一副面孔：在三角形 $ACD$ 中，直线 $AB$ 是从 $A$ 出发的高（它垂直于 $y$ 轴，也就是垂直于 $CD$），而 $H$ 就在这条高上；由 (a) 已知 $DH\perp AC$，所以 $DH$ 是从 $D$ 出发的高。两条高交于 $H$，那么第三条高 $CH$ 也必须过 $H$，于是 $CH\perp AD$。取 $a=3.7$、$t=1.4$ 做数值检验，得到 $\vec{DH}\cdot\vec{AC}=0$、$\vec{CH}\cdot\vec{AD}=0$ 都精确为零，斜率之积等于 $-1.0$。