一个多边形有 14 条对角线，它有多少条边？另外，哪一种多边形的内角和等于外角和？

Step-by-step solution

1. 1

   与其死记公式，不如把对角线条数推一遍。 从 $n$ 个顶点中的每一个出发，可以向另外 $n-3$ 个顶点连线段（排除它自己和相邻的两个顶点，连相邻顶点得到的是边而不是对角线）。这样每条对角线都被它的两个端点各数了一次，所以要除以 $2$：

   $D=\frac{n(n-3)}{2}.$

2. 2

   令条数等于 14 再解方程。

   $\frac{n(n-3)}{2}=14\ \Longrightarrow\ n^{2}-3n-28=0\ \Longrightarrow\ (n-7)(n+4)=0.$

   两个根是 $n=7$ 和 $n=-4$；多边形的边数不可能是负的，所以

   $n=7\quad(\text{七边形}).$

3. 3

   验算一下。 七边形有 $\tfrac{7\times 4}{2}=14$ 条对角线 ✓。

4. 4

   第 (2) 问要用到两个角度和的结论。 对任意凸 $n$ 边形，

   $\text{内角和}=(n-2)\cdot 180^\circ,\qquad \text{外角和}=360^\circ.$

   外角和这条特别值得留意：无论多少条边，它永远是 $360^\circ$——沿着图形走一圈，正好转过一整周。

5. 5

   令两个和相等。

   $(n-2)\cdot 180=360\ \Longrightarrow\ n-2=2\ \Longrightarrow\ n=4.$

6. 6

   给出两个答案并各验一遍。 有 $14$ 条对角线的多边形有 $7$ 条边；内角和与外角和相等的是四边形：它的内角和为 $(4-2)180=360^\circ$，与所有多边形通用的外角和 $360^\circ$ 一致 ✓。另外还可以注意到，每多一条边，外角和纹丝不动，内角和却增加 $180^\circ$。