两个正六边形的边长之比是 3:5，较小的正六边形面积为 81 平方米。较大的正六边形面积是多少？在 240、125、135、225 平方米中选一个。

Step-by-step solution

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   注意所有正六边形彼此都相似。 六条边相等、六个角相等已经把形状完全确定死了，所以这两个六边形之间只差一个缩放系数。这正是我们能直接套相似性质的依据；你根本不需要六边形的面积公式 $\tfrac{3\sqrt3}{2}s^2$。

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   回忆面积在缩放下怎么变。 长度按 $k$ 缩放，面积就按 $k^2$ 缩放，因为面积是两个长度相乘。这里

   $k=\frac{\text{较大边}}{\text{较小边}}=\frac{5}{3}\quad\Longrightarrow\quad \frac{A_{\text{大}}}{A_{\text{小}}}=k^{2}=\frac{25}{9}.$

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   把已知面积乘上比值的平方。

   $A_{\text{大}}=81\cdot\frac{25}{9}=9\cdot 25=225\ \text{m}^2.$

   $9$ 能把 $81$ 整除干净，这是个好兆头，说明题目本来就是照这条路设计的。

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   用显式公式再验证一遍。 边长为 $s$ 的正六边形面积为 $A=\tfrac{3\sqrt3}{2}s^2$。由 $81=\tfrac{3\sqrt3}{2}s^2$ 得 $s^2=\tfrac{162}{3\sqrt3}=\tfrac{54}{\sqrt3}$，而较大的边满足 $S=\tfrac53 s$，于是 $S^2=\tfrac{25}{9}s^2$，$A_{\text{大}}=\tfrac{25}{9}\cdot 81=225$。答案一样，只是绕了远路。

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   逐个排除干扰项。 $135=81\cdot\tfrac53$ 是按比值本身而不是它的平方去缩放得来的——这就是最标准的陷阱。$125=5^3$ 和 $240$ 在题目里对应不到任何量。答案是 $225\ \text{m}^2$。