一个长方形城市公园长 30 米、宽 20 米。四个角上各修一块半径 7 米的四分之一圆形花坛，剩下部分的边界围成跑道。这条跑道有多长？

Step-by-step solution

1. 1

   先求切掉圆角之前的周长。

   $P = 2(30 + 20) = 100\ \text{m}$

   这是另一个问题的答案 —— 整个公园的周长 —— 也就是选项 A，专门留给算到这一步就收手的人的陷阱。

2. 2

   看清每个角减掉了什么、又补上了什么。 角上半径 $7$ 的四分之一圆，会在交于此处的两条边上各吃掉 $7\ \text{m}$，所以一共去掉 $7 + 7 = 14\ \text{m}$ 的直边围栏。补上来的是那段四分之一圆弧：

   $L_{\text{arc}} = \frac14 \cdot 2\pi r = \frac{2\pi(7)}{4} = 3.5\pi\ \text{m}$

3. 3

   把弧长算出来。 课本里遇到 $r = 7$ 习惯取 $\pi = \tfrac{22}{7}$，这样算术是精确的：

   $3.5\pi = 3.5 \times \frac{22}{7} = 11\ \text{m}$

   （用真实的 $\pi$ 时这段弧是 $10.9956\ \text{m}$ —— 下面会看到，这点差别落到最终答案上还不到 $2\ \text{cm}$。）

4. 4

   先算一个角的净变化，再算四个角。 每个角少 $14$ 米、多 $11$ 米，净少 $3$ 米。四个角合计：

   $4 \times 3 = 12\ \text{m（减少）}$

   四个圆角放得下，因为 $7 + 7 = 14 \le 20$，也就是较短的那条边。

5. 5

   算出跑道长度。

   $100 - 12 = 88\ \text{m}$

   所以答案选 B。

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   把各段直接加起来检验一遍。 直线部分：$100 - 4(14) = 44\ \text{m}$。四段弧：$4 \times 11 = 44\ \text{m}$。合计 $88\ \text{m}$，对得上。改用真实的 $\pi$ 则是 $44 + 4(10.99557) = 87.982\ \text{m}$，四舍五入仍然是 $88$ —— 所以这里 $\pi$ 取哪个值都不影响选择题的答案。