已知 A(−1, 1)、B(4, 6)，求线段 AB 的长度；再求连接 (4, 1) 与 (16, −1) 的线段的中点。

Step-by-step solution

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   先把两个公式区分清楚。 它们长得像，做的事却相反：

   $d=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}\quad(\text{先作差，再平方}),$
   $M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)\quad(\text{先求和，再取半}).$

   距离用的是差，所以对符号不敏感；中点用的是和，负号处理不当答案就变了。

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   第（1）问：先算两个坐标差。

   $x_2-x_1=4-(-1)=5,\qquad y_2-y_1=6-1=5.$

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   第（1）问：代入距离公式，并化简根式。

   $AB=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}\approx 7.071.$

   两个差相等，说明这条线段与坐标轴成 $45^\circ$ 角，这也是答案恰好是 $\sqrt2$ 的整数倍的原因。

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   第（2）问：把两个横坐标取平均。

   $\frac{4+16}{2}=\frac{20}{2}=10.$

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   第（2）问：把两个纵坐标取平均，注意那个负号。

   $\frac{1+(-1)}{2}=\frac{0}{2}=0.$

   所以中点是 $M(10,0)$——它落在 $x$ 轴上，这很合理，因为两个点正好一上一下、各距 $x$ 轴一个单位，对称分布。

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   用距离检验中点。 从 $(4,1)$ 到 $(10,0)$ 是 $\sqrt{36+1}=\sqrt{37}$，从 $(10,0)$ 到 $(16,-1)$ 同样是 $\sqrt{36+1}=\sqrt{37}$。两段距离相等，确认 $M$ 确实是中点。