中点公式计算器

中点公式求两个给定点正中间的点。它就是坐标的平均值：

二维形式——对于点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$：

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

三维形式——对于点 $(x_1, y_1, z_1)$ 和 $(x_2, y_2, z_2)$：

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$

为什么取平均有效：中点把线段按 $1:1$ 的比例分割，而线段上任意点的坐标是端点的加权平均。取相等的权重（各 $1/2$），就得到简单的算术平均。

中点公式在坐标几何中频繁出现：由直径求圆心、三角形的重心、平行四边形、垂直平分线，以及任何涉及「正中间」的问题。

分步

1. 辨明两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$。
2. 对 x 坐标取平均：$\frac{x_1 + x_2}{2}$。
3. 对 y 坐标取平均：$\frac{y_1 + y_2}{2}$。
4. 组合成中点 $(M_x, M_y)$。

无减法、无平方、无开方——比距离公式简单得多。

逆问题：由中点求端点

如果 $M = (M_x, M_y)$ 是 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 的中点，可解出任一端点：

$x_2 = 2 M_x - x_1, \quad y_2 = 2 M_y - y_1$

中点加倍，减去已知端点。

推广：定比分点公式

对于按比例 $m : n$（不只是 $1:1$）分割线段的点：

$P = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}\right)$

中点公式是 $m = n = 1$ 的特殊情况。

几何应用

• 由直径端点求圆心：就是中点。
• 三角形的重心：三个顶点坐标的平均（把中点推广到 3 个点）。
• 垂直平分线：过中点且垂直于原线段的直线。
• 平行四边形的对角线：两条对角线的中点重合——用于证明四边形是平行四边形。

• 用减法而非加法：中点是取平均——$\frac{x_1 + x_2}{2}$，而非 $\frac{x_2 - x_1}{2}$。减法属于距离公式。
• 忘记对每个坐标分别除：除数 2 分别作用于 x 之和与 y 之和。它不是最后做一次除法。
• 负坐标的符号错误：$\frac{-3 + 7}{2} = 2$，而非 $-2$ 或 $5$。仔细相加。
• 混用中点与斜率公式：中点取平均，斜率做减法。它们看似相似但回答不同问题。
• 忘记针对三维更新：如果问题是三维的，要包含 z 的平均。如果是二维，不要加一个虚构的 z。