求点 A(-1, 1) 与 B(1, 6) 之间的距离，以及点 C(5, 0) 与 D(4, 2) 之间的距离，并判断哪条线段更长。

Step-by-step solution

1. 1

   写出距离公式，并说明为什么正负号无关紧要。 对于点 $(x_1,y_1)$ 与 $(x_2,y_2)$，

   $d=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}.$

   两个差都要平方，所以反过来相减得到的距离完全相同——当某个坐标是负数时，这一点让人放心不少。

2. 2

   计算 A 与 B 的坐标差。

   $x_2-x_1=1-(-1)=2,\qquad y_2-y_1=6-1=5.$

   双重负号正是符号出错的高发地：$1-(-1)$ 等于 $2$，不是 $0$。

3. 3

   求 AB。

   $AB=\sqrt{2^{2}+5^{2}}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}\approx 5.385.$

   $29$ 是质数，所以这个根式没法再化简。

4. 4

   计算 C 与 D 的坐标差，再求 CD。

   $x_2-x_1=4-5=-1,\qquad y_2-y_1=2-0=2,$
   $CD=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\approx 2.236.$

   正如前面所说，负的差一平方就没事了。

5. 5

   比较大小。 因为 $29>5$ 且平方根是增函数，所以 $\sqrt{29}>\sqrt{5}$，即 $AB$ 是更长的那条线段——大约是 $2.4$ 倍。

6. 6

   用勾股定理的图形来验证。 $AB$ 是两条直角边为 $2$ 和 $5$ 的直角三角形的斜边；$CD$ 则是直角边为 $1$ 和 $2$ 的直角三角形的斜边。距离公式无非就是对这两条直角边用一次勾股定理。