在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8。点 P 在 BC 上运动，但不与 B、C 重合，且 PC = x。把三角形 APB 的面积 y 表示成 x 的函数，并写出自变量的取值范围。

Step-by-step solution

1. 1

   选底边，让高是现成的。 $P$ 与 $B$ 都在线段 $BC$ 上，所以取 $PB$ 作为三角形 $APB$ 的底。因为 $\angle C=90^\circ$，直角边 $AC$ 垂直于直线 $BC$——于是不论 $P$ 落在哪里，$AC$ 都垂直于 $PB$。高是常量

   $h=AC=6.$

   这就是本题的全部想法：动点改变的是底，而高从头到尾没变。

2. 2

   用 x 表示底边。 $P$ 在 $C$ 与 $B$ 之间，且 $PC=x$，$CB=8$，所以

   $PB=BC-PC=8-x.$

3. 3

   代入三角形面积公式。

   $y=\frac{1}{2}\cdot PB\cdot AC=\frac{1}{2}(8-x)(6)=3(8-x).$

4. 4

   展开成题目要的一次形式。

   $y=24-3x.$

   $P$ 每向 $B$ 滑动一个单位，面积就固定减少 $3$ 个平方单位——这正是一次函数关系该有的样子。

5. 5

   取值范围要从几何条件来定，而不是从解析式来定。 $P$ 在线段 $BC$ 上且不与两端点重合，所以 $PC$ 严格介于 $0$（在 $C$ 处）与 $8$（在 $B$ 处）之间：

   $0<x<8.$

   两个端点都取不到，这也解释了为什么 $y$ 达不到极端值 $24$ 和 $0$——当 $x=8$ 时三点共线，根本构不成三角形。