边长为 4、8、11 时能构成多少个不同的三角形？

Step-by-step solution

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   先看清该用哪条存在性判据。 题目给出的是全部三条边，所以这是 SSS 的情形。与 SSA 不同，SSS 从不产生两解的模糊情况：只要三角形存在，它在全等意义下就是唯一的。因此答案只可能是 $0$ 或 $1$。

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   写出三角形不等式。 三个正的长度能构成三角形，当且仅当每一条都小于另外两条之和：

   $a+b>c,\qquad a+c>b,\qquad b+c>a$

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   取 $a=4$、$b=8$、$c=11$ 逐条检验。

   $4+8=12>11\qquad\checkmark$
   $4+11=15>8\qquad\checkmark$
   $8+11=19>4\qquad\checkmark$

   实际做题时只需要验第一条——含最长边的那条不等式总是最紧的。

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   注意这个例子有多险。 余量只有 $12>11$：假如最长边是 $12$，三条线段就会共线（退化成一条线段）；到了 $13$，三角形根本不存在。

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   下结论。 三条不等式全部成立，而 SSS 又把形状固定死了，所以恰好能构成

   $\boxed{1}$

   个三角形。再补一个检验：$11$ 所对的最大角满足 $\cos C=\tfrac{16+64-121}{2\cdot 4\cdot 8}=-\tfrac{41}{64}$，是一个合法的余弦值，对应 $C\approx 129.8^\circ$——是钝角，这与最长边刚好勉强放得下的情形正好相符。