在三角形 ABC 中，角平分线 AE 与 BD 交于点 O。已知 AB = 12 cm，OA/OE = 3/2，AD/DC = 6/7，求 AC。

Step-by-step solution

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   用第一条角平分线求出 BC。 $BD$ 平分角 $B$ 并交 $AC$ 于 $D$，所以在三角形 $ABC$ 中用角平分线定理，得到的是与 B 相邻的两条边之比：

   $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}\quad\Longrightarrow\quad \frac{6}{7}=\frac{12}{BC}\quad\Longrightarrow\quad BC=14\ \text{cm}$

   对应关系不能弄反：$AD$ 与 $AB$ 相邻，$DC$ 与 $BC$ 相邻。

2. 2

   找出处理第二个条件的窍门。 比值 $\dfrac{OA}{OE}$ 是沿线段 $AE$ 量出来的，而 $O$ 正是 $BD$ 与它的交点。既然 $BD$ 平分角 $B$，那么在三角形 $ABE$ 内部，线段 $BO$ 就是角 $B$ 的平分线——因为 $A$、$O$、$E$ 三点共线。对这个较小的三角形用角平分线定理：

   $\frac{OA}{OE}=\frac{BA}{BE}$

   正是这一步观察，让本题不必动用坐标法，用初等工具就能做出来。

3. 3

   把 BE 用待求的 AC 表示出来。 $AE$ 平分角 $A$，所以在三角形 $ABC$ 中 $\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{AB}{AC}$。又因为 $BE+EC=BC=14$：

   $BE=BC\cdot\frac{AB}{AB+AC}=\frac{14\cdot12}{12+AC}=\frac{168}{12+AC}$

4. 4

   代入题目给的比值并求解。

   $\frac{OA}{OE}=\frac{AB}{BE}=\frac{12}{\dfrac{168}{12+AC}}=\frac{12\,(12+AC)}{168}=\frac{12+AC}{14}$

   令它等于 $\tfrac32$：

   $\frac{12+AC}{14}=\frac{3}{2}\quad\Longrightarrow\quad 12+AC=21\quad\Longrightarrow\quad AC=9\ \text{cm}$

5. 5

   检查这个三角形确实存在。 当 $AB=12$、$BC=14$、$AC=9$ 时，三条三角形不等式都成立：$12+9=21>14$，$12+14>9$，$9+14>12$ ✓。所以这组数据描述的是一个真正的三角形，而不是退化情形。

6. 6

   把两个已知比值分别验证一遍。 取 $AC=9$：$BE=\frac{14\cdot12}{21}=8$，于是 $\frac{AB}{BE}=\frac{12}{8}=\frac32$ ✓，与 $\frac{OA}{OE}$ 吻合。又 $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{12}{14}=\frac67$ ✓。把三角形放到坐标系里真的求两条角平分线的交点，得到 $OA/OE=1.500000$、$AD/DC=0.857143=\tfrac67$ ✓。