点 A 位于从 (1, 10) 到 (-8, 4) 这条线段的三分之二处。点 B 是连结 C(0, -7) 与 D(6, -11) 的线段的中点。求距离 AB。

Step-by-step solution

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   先写出求 A 的定比分点公式。 从 $P$ 向 $Q$ 走全程的 $t$ 倍，落点为 $P+t(Q-P)$。这里 $t=\frac23$，$P=(1,10)$，$Q=(-8,4)$，所以位移向量为 $Q-P=(-9,-6)$。

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   算出 A。 $A=(1,10)+\frac23(-9,-6)=(1-6,\ 10-4)=(-5,6)$。两个坐标都是整数，因为 $-9$ 与 $-6$ 都能被 $3$ 整除。

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   用中点公式算出 B。 中点就是两点坐标的平均：$B=\left(\frac{0+6}{2},\frac{-7+(-11)}{2}\right)=(3,-9)$。

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   套用两点间距离公式。 $AB=\sqrt{(3-(-5))^2+(-9-6)^2}=\sqrt{8^2+(-15)^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$。

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   把根号化简。 $\sqrt{289}=17$，所以 $AB=17$。两条直角边 $8$ 与 $15$ 配上斜边 $17$ 是一组著名的勾股数，这是算术没错的一个好迹象。

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   验证 A 确实在三分之二处。 从 $(1,10)$ 到 $A(-5,6)$ 的距离是 $\sqrt{36+16}=\sqrt{52}\approx 7.211$，而整条线段 $(1,10)$ 到 $(-8,4)$ 的长度是 $\sqrt{81+36}=\sqrt{117}\approx 10.817$。比值 $7.211/10.817=0.6667$，恰好是三分之二。