求抛物线 (x - 1)^2 = 8(y - 2) 的顶点、焦点、对称轴与准线。

Step-by-step solution

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   先判断该用两个标准式中的哪一个。 被平方的是 $x$，所以抛物线沿竖直方向开口。这就定下了模板：

   $(x-h)^2 = 4p(y-k)$

   如果被平方的是 $y$，抛物线就会横着开口，下面每一条公式里两个变量的角色都要对调。

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   逐项对照，读出 $h$、$k$、$p$。 把 $(x-1)^2 = 8(y-2)$ 与模板比对，得 $h = 1$、$k = 2$、$4p = 8$，所以

   $p = 2$

   由于 $p > 0$，抛物线向上开口。

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   顶点就是 $(h,k)$。 直接从对照结果读出：顶点是 $(1, 2)$。

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   焦点在对称轴上、距顶点 $p$ 个单位处。 对竖直开口的抛物线，焦点是 $(h,\; k+p)$：

   $(1,\; 2+2) = (1, 4)$

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   准线在另一侧、同样距顶点 $p$ 个单位，而对称轴穿过两者。 对称轴是过顶点的那条竖直线 $x = h = 1$。准线是水平线 $y = k - p = 2 - 2 = 0$，也就是 $x$ 轴。

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   用焦点-准线定义验证。 取 $(5, 4)$：$(5-1)^2 = 16 = 8(4-2)$，可见这个点确实在抛物线上。它到焦点 $(1,4)$ 的距离是 $4$，到准线 $y = 0$ 的距离也是 $4$。两个距离相等，焦点和准线就都验证过了。