在边长 AB = 4 厘米的等边三角形 ABC 中，AC 上的点 M 和 BC 上的点 N 满足 CM = BN，且两点都不与顶点重合。直线 AN 与 BM 交于 G。(a) 作 CH 垂直 AB 于 H，求 CH。(b) 证明 AN = BM，并求 ∠AGM。

Step-by-step solution

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   (a) 利用等边三角形中高也是中线这一事实。 因为 $CA=CB$，从 $C$ 作的高的垂足 $H$ 就是 $AB$ 的中点，所以

   $AH=HB=\frac{AB}{2}=2\ \text{cm}$

   有了这一点，才能把三角形化成一个已知两边的直角三角形。

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   (a) 在直角三角形 $ACH$ 中用勾股定理。

   $CH^{2}=AC^{2}-AH^{2}=4^{2}-2^{2}=16-4=12$

   $CH=\sqrt{12}=2\sqrt3\approx3.46\ \text{cm}$

   这正是等边三角形高等于 $\frac{\sqrt3}{2}\times\text{边长}$ 的熟悉结论，这里就是 $\frac{\sqrt3}{2}\times 4$。

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   (b) 找准要比较的那一对三角形。 看起来很顺手的 $\triangle ABN$ 与 $\triangle CAM$ 这一对不行，因为 $AM=4-CM$ 一般并不等于 $BN$。应当比较的是 $\triangle ABN$ 与 $\triangle BCM$：

   $AB=BC=4\ \text{（等边）},\qquad \angle ABN=\angle BCM=60^\circ,\qquad BN=CM\ \text{（已知）}$

   在两个三角形里，这个角都夹在对应相等的两边之间，所以这是真正的 SAS 对应。

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   (b) 得出两条塞瓦线相等。 由 SAS 得 $\triangle ABN\cong\triangle BCM$，对应元素相等给出

   $AN=BM$

   同时也给出下一步要用的角相等：$\angle BAN=\angle CBM$。

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   (b) 在交点 $G$ 处进行角度追踪。 因为 $M$ 在 $AC$ 上，射线 $BM$ 把 $B$ 处的 $60^\circ$ 角分开：

   $\angle ABM=60^\circ-\angle CBM$

   再加上全等给出的那个相等角，

   $\angle BAN+\angle ABM=\angle CBM+\left(60^\circ-\angle CBM\right)=60^\circ$

   三角形 $ABG$ 中 $A$ 与 $B$ 处的角恰好就是这两个，所以

   $\angle AGB=180^\circ-60^\circ=120^\circ$

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   (b) 换算成题目要求的那个角。 $G$ 在线段 $BM$ 上，所以 $\angle AGM$ 与 $\angle AGB$ 互补：

   $\angle AGM=180^\circ-120^\circ=60^\circ$

   注意答案与 $M$、$N$ 的具体位置无关：保持 $CM=BN$ 让它们沿边滑动，两条塞瓦线会一起转动，夹角始终是 $60^\circ$。取坐标 $A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(2,2\sqrt3)$ 并令 $CM=BN=2$，算得 $\angle AGM=60^\circ$，验证无误。