在三角形 ABC 中，C 处的角为 14 度，AD 是 ∠A 的平分线，且 ∠BAD 等于 28 度。求 ∠ADB（以度为单位）。

Step-by-step solution

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   利用角平分线还原出完整的 ∠A。 平分线把 $\angle A$ 分成相等的两份，而其中一份是已知的：

   $\angle BAD = \angle DAC = 28^{\circ} \quad\Longrightarrow\quad \angle A = 2 \times 28^{\circ} = 56^{\circ}$

   给出 $28^{\circ}$ 的用意正在于此：它是半角，而不是整个角。

2. 2

   在三角形 ABC 中用内角和。

   $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \quad\Longrightarrow\quad 56^{\circ} + \angle B + 14^{\circ} = 180^{\circ}$

   $\angle B = 110^{\circ}$

   这个三角形在 $B$ 处是钝角，与另外两个已知角都很小的情况相符。

3. 3

   转到子三角形 ABD 上。 点 $D$ 在边 $BC$ 上，所以三角形 $ABD$ 中 $B$ 处的角仍然是 $\angle ABC = 110^{\circ}$——射线 $BA$ 与射线 $BC$（$BD$ 就在它上面）都没有变。

4. 4

   在三角形 ABD 中用内角和收尾。

   $\angle ADB = 180^{\circ} - \angle BAD - \angle ABD = 180^{\circ} - 28^{\circ} - 110^{\circ} = 42^{\circ}$

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   用另一个子三角形交叉验证。 在三角形 $ACD$ 中：$\angle DAC = 28^{\circ}$，$\angle C = 14^{\circ}$，所以 $\angle ADC = 180^{\circ} - 42^{\circ} = 138^{\circ}$。由于 $\angle ADB$ 与 $\angle ADC$ 在直线 $BC$ 上互补，$\angle ADB = 180^{\circ} - 138^{\circ} = 42^{\circ}$——用一条独立的路径得到了同一个答案。（等价地，由三角形外角定理可直接得 $\angle ADB = \angle DAC + \angle C = 28^{\circ} + 14^{\circ} = 42^{\circ}$。）