在四边形 ABCD 中，∠A = ∠B / 2 = ∠C / 3 = ∠D / 4。求这四个角。

Step-by-step solution

1. 1

   把这串等式化成一个参数。 四个表达式彼此相等，所以给它们的公共值起个名字：设 $\widehat{A}=\frac{\widehat{B}}{2}=\frac{\widehat{C}}{3}=\frac{\widehat{D}}{4}=x.$ 这样一个未知数就控制住了全部四个角。

2. 2

   把每个角都用 x 表示。 把每个等式乘开：$\widehat{A}=x,\quad \widehat{B}=2x,\quad \widehat{C}=3x,\quad \widehat{D}=4x.$ 于是四个角之比为 $1:2:3:4$ —— 注意原题里的分母恰好变成了这里的倍数。

3. 3

   用四边形的内角和。 一个四边形可以分成两个三角形，所以内角总和是 $2\times180^\circ = 360^\circ$：$x+2x+3x+4x = 360^\circ.$

4. 4

   解出 x。 $10x = 360^\circ \quad\Longrightarrow\quad x = 36^\circ.$

5. 5

   回代求各个角。 $\widehat{A}=36^\circ,\quad \widehat{B}=72^\circ,\quad \widehat{C}=108^\circ,\quad \widehat{D}=144^\circ.$

6. 6

   检验总和与图形是否成立。 $36+72+108+144 = 360$，符合要求。四个角都小于 $180^\circ$，所以这样的凸四边形确实存在；另外注意 $\widehat{B}+\widehat{D} = 72+144 = 216^\circ \ne 180^\circ$，所以它不是圆内接四边形。