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Chemistry · real student question

Mg²⁺ 离子与 S²⁻ 离子之间的引力为 1.49 × 10⁻⁸ N。阴离子半径为 0.184 nm，阳离子半径为 0.065 nm。取玻恩指数 n = 8，求两个离子刚好接触时的净势能。

Question

Mg2+\mathrm{Mg^{2+}} 离子与 S2−\mathrm{S^{2-}} 离子之间的吸引力为 1.49×10−8 N1.49\times 10^{-8}\ \mathrm{N}。阴离子半径为 0.184 nm0.184\ \mathrm{nm}，阳离子半径为 0.065 nm0.065\ \mathrm{nm}。

取玻恩指数 n=8n=8，求两个离子刚好接触时的净势能 EnetE_{\text{net}}。

Step-by-step solution

  1. 先求接触时的间距。 「刚好接触」意味着两核心之间的距离等于两个离子半径之和，而这同时也就是平衡间距 r0r_0：

    r0=0.065+0.184=0.249 nm=2.49×10−10 m.r_0=0.065+0.184=0.249\ \mathrm{nm}=2.49\times 10^{-10}\ \mathrm{m}.

  2. 由给定的力反推吸引常数。 库仑吸引力的形式是 F=Ar2F=\dfrac{A}{r^2}，其中 A=k ∣z1z2∣e21A=\dfrac{k\,|z_1 z_2|e^2}{1} 把所有与电荷有关的常数打包在一起。与其去查这些常数，不如直接从实测的力里把 AA 读出来：

    A=Fr02=(1.49×10−8)(2.49×10−10)2=9.24×10−28 J⋅m.A=F r_0^{2}=\left(1.49\times 10^{-8}\right)\left(2.49\times 10^{-10}\right)^{2}=9.24\times 10^{-28}\ \mathrm{J\cdot m}.

  3. 写出净能量的玻恩模型。 吸引项与短程排斥项合起来是

    Enet=−Ar+Brn,E_{\text{net}}=-\frac{A}{r}+\frac{B}{r^{n}},

    其中排斥项上升得非常陡（这里 n=8n=8），正是它阻止两个离子塌缩到一起。

  4. 用平衡条件把 BB 消掉。 在 r=r0r=r_0 处能量取极小，所以 dEdr=0\dfrac{dE}{dr}=0：

    Ar02−nBr0 n+1=0 ⟹ B=A r0 n−1n.\frac{A}{r_0^{2}}-\frac{nB}{r_0^{\,n+1}}=0\ \Longrightarrow\ B=\frac{A\,r_0^{\,n-1}}{n}.

    回代之后，两项模型立刻塌缩成一个干净的表达式：

    Enet=−Ar0+Anr0=−Ar0(1−1n).E_{\text{net}}=-\frac{A}{r_0}+\frac{A}{n r_0}=-\frac{A}{r_0}\left(1-\frac{1}{n}\right).

    这就是为什么 BB 根本不必算出来：在平衡位置上，排斥项总是恰好抵消掉吸引项的 1/n1/n。

  5. 代入数值。 取 n=8n=8，括号里就是 78\tfrac78：

    Ar0=9.24×10−282.49×10−10=3.71×10−18 J,Enet=−78(3.71×10−18)≈−3.25×10−18 J.\frac{A}{r_0}=\frac{9.24\times 10^{-28}}{2.49\times 10^{-10}}=3.71\times 10^{-18}\ \mathrm{J},\qquad E_{\text{net}}=-\frac{7}{8}\left(3.71\times 10^{-18}\right)\approx -3.25\times 10^{-18}\ \mathrm{J}.

    结果为负，说明这是一个成键的、稳定的离子对。

  6. 用库仑定律反过来核对题给的力。 取 z1=+2z_1=+2、z2=−2z_2=-2、k=8.988×109k=8.988\times 10^{9}、e=1.602×10−19 Ce=1.602\times 10^{-19}\ \mathrm{C}：

    F=k (2e)(2e)r02=1.488×10−8 N,F=\frac{k\,(2e)(2e)}{r_0^{2}}=1.488\times 10^{-8}\ \mathrm{N},

    与题目给出的 1.49×10−8 N1.49\times 10^{-8}\ \mathrm{N} 吻合，说明这组数据是自洽的。

Answer

Enet=−Ar0(1−1n)≈−3.25×10−18 JE_{\text{net}}=-\frac{A}{r_0}\left(1-\frac{1}{n}\right)\approx -3.25\times 10^{-18}\ \mathrm{J}

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