导数 vs 微分

导数 与 微分 密切相关却是不同的数学对象，把两者混淆是许多微妙微积分错误的根源。

导数

导数 $f'(x)$（或 $\frac{dy}{dx}$）是一个 函数，给出 $f$ 在每个 $x$ 处的变化率。对 $f(x) = x^2$，$f'(x) = 2x$。

数值上：在 $x = 3$ 处，$f'(3) = 6$——该点切线的斜率。

微分

微分 $dy$ 是与 $x$ 的无穷小变化 $dx$ 对应的 $y$ 的 无穷小变化：

$dy = f'(x) \, dx$

对 $y = x^2$：$dy = 2x \, dx$。

微分让你把导数写成无穷小的 比值——在积分的 换元（$u$ 换元：$du = u'(x) dx$）以及微分方程的 分离变量 中很有用。

差别何时重要

在积分中：$\int 2x \, dx$ 用的是微分 $dx$，不是导数。

在隐函数微分中：由 $x^2 + y^2 = 25$，取微分：$2x \, dx + 2y \, dy = 0$，然后解出 $\frac{dy}{dx}$。

在物理中：$dW = F \, dx$（功作为微分），而非「功等于力的导数」。

线性近似

对较小的 $dx$，$dy$ 也作为 $\Delta y$（实际变化）的 线性近似：

$\Delta y \approx dy = f'(x) \, dx$

这是误差传播、牛顿法，以及整个微积分线性近似基础的根本。

结论

想要变化率 / 函数时，用 导数 $f'(x)$。想要无穷小变化时，特别是在积分、换元或微分方程中，用 微分 $dy = f'(x) dx$。