AI Math
Mở ứng dụng

Máy Tính Lượng Giác Ngược

Tính arcsin, arccos và arctan kèm lời giải từng bước

Kéo & thả hoặc nhấp để thêm hình ảnh hoặc PDF

∑Math Input
arcsin(1/2)
arccos(-sqrt(2)/2)
arctan(sqrt(3))
sin(arccos(3/5))

Hàm Lượng Giác Ngược Là Gì?

Hàm lượng giác ngược đảo ngược các hàm lượng giác chuẩn. Cho một tỉ số, chúng trả về góc:

arcsin⁡(x)=θ  ⟺  sin⁡(θ)=x\arcsin(x) = \theta \iff \sin(\theta) = x
arccos⁡(x)=θ  ⟺  cos⁡(θ)=x\arccos(x) = \theta \iff \cos(\theta) = x
arctan⁡(x)=θ  ⟺  tan⁡(θ)=x\arctan(x) = \theta \iff \tan(\theta) = x

Vì các hàm lượng giác không đơn ánh, ta hạn chế miền của chúng để định nghĩa các hàm ngược đúng đắn:

HàmMiền xác địnhMiền giá trị (Giá trị chính)
arcsin⁡(x)\arcsin(x)[−1,1][-1, 1][−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
arccos⁡(x)\arccos(x)[−1,1][-1, 1][0,π][0, \pi]
arctan⁡(x)\arctan(x)(−∞,∞)(-\infty, \infty)(−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

Ký hiệu thay thế: sin⁡−1(x)\sin^{-1}(x), cos⁡−1(x)\cos^{-1}(x), tan⁡−1(x)\tan^{-1}(x) (lưu ý: sin⁡−1(x)≠1sin⁡x\sin^{-1}(x) \neq \frac{1}{\sin x}).

Các quan hệ then chốt:

  • arcsin⁡(x)+arccos⁡(x)=π2\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} với mọi x∈[−1,1]x \in [-1, 1]
  • arctan⁡(x)+arccot(x)=π2\arctan(x) + \text{arccot}(x) = \frac{\pi}{2} với mọi xx

Hàm lượng giác ngược xuất hiện trong tích phân (∫11+x2 dx=arctan⁡x+C\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C), hình học, định vị và vật lý.

Cách Tính Hàm Lượng Giác Ngược

Phương Pháp 1: Dùng Các Giá Trị Đã Biết

Với các giá trị chuẩn, dùng đường tròn lượng giác theo chiều ngược:

arcsin⁡(12)=π6vıˋ sin⁡π6=12\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \quad \text{vì } \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}

Các giá trị chính xác thường gặp:

Đầu vàoarcsin⁡\arcsinarccos⁡\arccosarctan⁡\arctan
0000π2\frac{\pi}{2}00
12\frac{1}{2}π6\frac{\pi}{6}π3\frac{\pi}{3}—
22\frac{\sqrt{2}}{2}π4\frac{\pi}{4}π4\frac{\pi}{4}—
32\frac{\sqrt{3}}{2}π3\frac{\pi}{3}π6\frac{\pi}{6}—
11π2\frac{\pi}{2}00π4\frac{\pi}{4}
3\sqrt{3}——π3\frac{\pi}{3}

Phương Pháp 2: Phương Pháp Tam Giác Vuông

Để tính các hợp như cos⁡(arcsin⁡(35))\cos(\arcsin(\frac{3}{5})):

  1. Đặt θ=arcsin⁡(35)\theta = \arcsin(\frac{3}{5}), nên sin⁡θ=35\sin\theta = \frac{3}{5}
  2. Vẽ một tam giác vuông: đối =3= 3, huyền =5= 5
  3. Tìm kề =25−9=4= \sqrt{25 - 9} = 4 (định lý Pythagoras)
  4. Do đó cos⁡θ=45\cos\theta = \frac{4}{5}

Phương Pháp 3: Đẳng Thức Đại Số

Các đẳng thức hữu ích để rút gọn:

sin⁡(arccos⁡x)=1−x2\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}
cos⁡(arcsin⁡x)=1−x2\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}
tan⁡(arcsin⁡x)=x1−x2\tan(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
sin⁡(arctan⁡x)=x1+x2\sin(\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}
cos⁡(arctan⁡x)=11+x2\cos(\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}

Phương Pháp 4: Đạo Hàm Của Hàm Lượng Giác Ngược

Các công thức này thiết yếu cho giải tích:

ddxarcsin⁡x=11−x2\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
ddxarccos⁡x=−11−x2\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
ddxarctan⁡x=11+x2\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}

So Sánh Các Cách Tiếp Cận

Phương phápPhù hợp nhất choDấu hiệu chính
Giá trị đã biếtTỉ số chuẩnĐầu vào là 0,12,22,32,10, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1
Tam giác vuôngCác hợp hàmBiểu thức dạng cos⁡(arcsin⁡(⋅))\cos(\arcsin(\cdot))
Đẳng thứcRút gọn đại sốCần khử lượng giác ngược
Máy tínhThập phân không chuẩnKhông kỳ vọng dạng chính xác

Những Lỗi Thường Gặp Cần Tránh

  • Nhầm sin⁡−1(x)\sin^{-1}(x) với 1sin⁡x\frac{1}{\sin x}: Ký hiệu sin⁡−1(x)\sin^{-1}(x) nghĩa là arcsin, không phải cosec. Dùng ngữ cảnh hoặc ưu tiên ký hiệu "arc" để tránh nhầm lẫn.
  • Bỏ qua miền giá trị chính: arcsin⁡(−12)=−π6\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}, không phải 11π6\frac{11\pi}{6}. Đáp án phải nằm trong miền đã định nghĩa [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}].
  • Áp dụng triệt tiêu sai: sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x với x∈[−1,1]x \in [-1,1], nhưng arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x chỉ khi x∈[−π2,π2]x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]. Ngoài miền này, bạn được góc tham chiếu với dấu thích hợp.
  • Lỗi miền xác định: arcsin⁡(2)\arcsin(2) và arccos⁡(−3)\arccos(-3) không xác định trong số thực vì miền của chúng là [−1,1][-1, 1].
  • Sai dấu ở bước Pythagoras: Khi dùng phương pháp tam giác vuông, đảm bảo lấy dấu đúng dựa trên góc phần tư ngụ ý bởi miền giá trị chính.

Examples

Step 1: Ta cần θ∈[0,π]\theta \in [0, \pi] sao cho cos⁡θ=−32\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}
Step 2: Ta biết cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}. Vì cosin âm, θ\theta ở Góc phần tư II
Step 3: θ=π−π6=5π6\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}
Answer: 5π6\frac{5\pi}{6}

Step 1: Đặt θ=arctan⁡43\theta = \arctan\frac{4}{3}, nên tan⁡θ=43\tan\theta = \frac{4}{3} với θ∈(−π2,π2)\theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})
Step 2: Vẽ tam giác vuông: đối =4= 4, kề =3= 3, huyền =16+9=5= \sqrt{16 + 9} = 5
Step 3: sin⁡θ=đoˆˊihuyeˆˋn=45\sin\theta = \frac{\text{đối}}{\text{huyền}} = \frac{4}{5}
Answer: 45\frac{4}{5}

Step 1: Đầu tiên tính sin⁡5π4\sin\frac{5\pi}{4}. Góc này ở Góc phần tư III với góc tham chiếu π4\frac{\pi}{4}: sin⁡5π4=−22\sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}
Step 2: Bây giờ tìm arcsin⁡(−22)\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}): ta cần θ∈[−π2,π2]\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] với sin⁡θ=−22\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}
Step 3: θ=−π4\theta = -\frac{\pi}{4} (ở Góc phần tư IV của miền bị hạn chế)
Answer: −π4-\frac{\pi}{4}

Frequently Asked Questions

Arcsin(x) trả lời 'góc nào có sin bằng x?' Tương tự cho arccos và arctan. Chúng là các phép toán ngược của sin, cos và tan. Ví dụ, arcsin(1/2) = 30 độ (hoặc pi/6 radian) vì sin(30 độ) = 1/2.

Vì sin, cosin và tang tuần hoàn, mỗi giá trị đầu ra tương ứng với vô số góc. Để làm hàm ngược thành một hàm đúng đắn (một đầu ra cho mỗi đầu vào), ta hạn chế về một miền giá trị chính. Với arcsin đó là [-pi/2, pi/2], với arccos là [0, pi], và với arctan là (-pi/2, pi/2).

Không. sin^(-1)(x) nghĩa là arcsin(x), hàm ngược. Nghịch đảo 1/sin(x) được viết là csc(x) (cosec). Đây là nguồn nhầm lẫn thường gặp do ký hiệu số mũ mơ hồ.

Arcsin và arccos chỉ nhận đầu vào giữa -1 và 1 bao gồm cả hai biên, vì sin và cosin không bao giờ vượt quá các giới hạn đó. Arctan nhận bất kỳ số thực nào làm đầu vào vì tang có thể cho bất kỳ giá trị thực nào.

Related Solvers

Máy tính lượng giácMáy tính Sin Cos TanMáy tính đạo hàmMáy tính tích phân
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving