Máy Tính Công Thức Khoảng Cách

Công thức khoảng cách tính khoảng cách theo đường thẳng giữa hai điểm trong không gian tọa độ. Đây là hệ quả trực tiếp của định lý Pythagoras áp dụng cho tam giác vuông được tạo bởi khoảng cách ngang và dọc giữa các điểm.

Dạng 2D — với các điểm $P_1 = (x_1, y_1)$ và $P_2 = (x_2, y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Dạng 3D — với các điểm $(x_1, y_1, z_1)$ và $(x_2, y_2, z_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Dạng $n$ chiều (khoảng cách Euclid):

$d = \sqrt{\sum_{i=1}^n (b_i - a_i)^2}$

Điều này tổng quát hóa tự nhiên cho số chiều bất kỳ, đó là lý do nó là khái niệm 'khoảng cách' chủ lực trong vật lý, thống kê và học máy.

Từng Bước

1. Ghi nhãn các điểm $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2)$. Gán cách nào cũng được — công thức đối xứng.
2. Tính các hiệu: $\Delta x = x_2 - x_1$, $\Delta y = y_2 - y_1$.
3. Bình phương chúng: $(\Delta x)^2$ và $(\Delta y)^2$.
4. Cộng: $(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$.
5. Lấy căn bậc hai: $d = \sqrt{\text{tổng}}$.
6. Rút gọn căn thức nếu có thể (ví dụ $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$).

Suy Diễn Hình Học

Vẽ một đoạn ngang từ $(x_1, y_1)$ đến $(x_2, y_1)$ — độ dài $|x_2 - x_1|$.
Vẽ một đoạn dọc từ $(x_2, y_1)$ đến $(x_2, y_2)$ — độ dài $|y_2 - y_1|$.
Đoạn ban đầu là cạnh huyền của một tam giác vuông với hai cạnh góc vuông này, nên theo định lý Pythagoras:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Lấy căn bậc hai cho công thức khoảng cách. Không cần giá trị tuyệt đối vì bình phương loại bỏ dấu.

Các Công Thức Liên Quan

• Trung điểm: $M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ — trung bình các tọa độ.
• Hệ số góc: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ — dùng cùng các hiệu như công thức khoảng cách.
• Khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ: $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ (trường hợp đặc biệt với $(x_1, y_1) = (0, 0)$).

Khoảng Cách Manhattan / Taxicab (Để So Sánh)

Lưu ý rằng công thức ở trên là khoảng cách Euclid. Khoảng cách Manhattan $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$ đo việc di chuyển trên lưới (không đi chéo). Chúng là các mêtric khác nhau — hãy chắc chắn bạn biết bài toán cần loại nào.

• Quên bình phương: $d \ne (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)$. Các bình phương (và căn bậc hai) là thiết yếu.
• Sai dấu: $(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$, nên thứ tự trừ không quan trọng — nhưng chỉ vì có bình phương. Đừng bỏ bình phương vì bạn 'thấy' hiệu.
• Quên lấy căn bậc hai: $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ là $d^2$, không phải $d$. Nhiều học sinh dừng sớm một bước.
• Không rút gọn căn thức: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Để nguyên là $\sqrt{8}$ về kỹ thuật là đúng nhưng thường bị trừ điểm trong bài thi.
• Trộn lẫn 2D và 3D: Nếu bài toán ở 3D, đưa vào số hạng $(z_2 - z_1)^2$. Nếu 2D, đừng tự thêm số hạng $z$.