Hoán vị vs tổ hợp

Hoán vị và tổ hợp trông gần như giống hệt nhau cho đến khi bạn hỏi một câu: thứ tự có quan trọng không? Trả lời sai là đáp án xác suất của bạn lệch đi một thừa số $r!$ hoặc hơn. Đây là sự phân biệt rõ ràng kèm ví dụ có lời giải.

Câu hỏi cốt lõi: thứ tự có quan trọng không?

• Có, thứ tự quan trọng → hoán vị. Chọn hạng 1 / 2 / 3 trong 10 vận động viên.
• Không, thứ tự không quan trọng → tổ hợp. Chọn một ủy ban 5 người từ 20 người.

Cùng 10 ứng viên có thể cho đáp án khác nhau tùy thuộc vào việc các vai trò có phân biệt hay không.

Các công thức

Với $n$ phần tử, chọn $r$:

$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}, \qquad C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}.$

Lưu ý tổ hợp là hoán vị chia cho $r!$ — $r!$ đó loại bỏ các cách sắp xếp của các phần tử đã chọn, vì tổ hợp không quan tâm thứ tự.

Ví dụ có lời giải

Hoán vị: bục trao giải đua

Mười vận động viên, ba vị trí huy chương (vàng, bạc, đồng). Thứ tự quan trọng — vàng ≠ bạc.

$P(10, 3) = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720.$

Tổ hợp: số xổ số

Chọn 6 số trong 49 — thứ tự trên vé của bạn không quan trọng.

$C(49, 6) = \binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13{,}983{,}816.$

Cùng số, đáp án khác

Chọn 3 chữ cái từ {A, B, C, D}.

• Dưới dạng hoán vị (mật khẩu 3 chữ cái): $P(4, 3) = 24$. ABC, ACB, BAC, ... tất cả đều khác nhau.
• Dưới dạng tổ hợp (chỉ chọn 3 chữ cái): $C(4, 3) = 4$. {A,B,C}, {A,B,D}, {A,C,D}, {B,C,D}.

Thừa số $3! = 6$ giữa chúng chính xác là $r!$ trong công thức.

Lối tắt quyết định

Khi phân vân, hãy hỏi: "Nếu tôi hoán đổi hai phần tử đã chọn, kết quả có khác không?"

• Có → hoán vị
• Không → tổ hợp

Chọn đội trưởng và đội phó → hoán đổi làm thay đổi ai là đội trưởng → hoán vị.
Chọn 2 người cho một cặp → hoán đổi vẫn là cặp đó → tổ hợp.

Lỗi thường gặp

• Lẫn lộn hai khái niệm khi có xác suất. Mẫu số (tổng số kết quả) và tử số (kết quả thuận lợi) phải dùng cùng một phương pháp đếm.
• Quên thừa số chia $r!$. Nếu bạn tính hoán vị khi muốn tổ hợp, bạn sẽ đếm thừa một thừa số $r!$.
• Phần tử phân biệt vs không phân biệt. Nếu một số phần tử giống nhau (vd. 5 bi đỏ và 3 bi xanh), không công thức đơn giản nào áp dụng — bạn cần hệ số đa thức $\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots}$.

Tự thử

Dùng Máy tính Xác suất của chúng tôi để tính hoán vị, tổ hợp và áp dụng chúng vào các bài toán xác suất thực tế với AI hướng dẫn bạn từng bước.