AI Math
ایپ کھولیں

Sin Cos Tan کیلکولیٹر

مرحلہ وار وضاحت کے ساتھ سائن، کوسائن اور ٹینجنٹ فنکشنز حل کریں اور گراف بنائیں

گھسیٹ کر چھوڑیں یا کلک کریں تصاویر یا PDF شامل کرنے کے لیے

∑Math Input
sin(pi/3)
cos(225°)
tan(7pi/4)
sin(x) + cos(x) at x = pi/4

Sin، Cos، اور Tan کیا ہیں؟

تین اہم مثلثیاتی فنکشنز — سائن، کوسائن، اور ٹینجنٹ — قائم الزاویہ مثلث میں زاویوں کو اضلاع کی نسبتوں سے جوڑتے ہیں:

sin⁡θ=oppositehypotenuse,cos⁡θ=adjacenthypotenuse,tan⁡θ=oppositeadjacent=sin⁡θcos⁡θ\sin\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, \quad \tan\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

اکائی دائرے (نصف قطر 1، مبدأ پر مرکوز) پر، مثبت xx-محور سے ناپے گئے زاویے θ\theta کے لیے:

  • cos⁡θ\cos\theta = نقطے کا xx-متناسق
  • sin⁡θ\sin\theta = نقطے کا yy-متناسق
  • tan⁡θ\tan\theta = اختتامی شعاع کی ڈھلان

اہم خصوصیات:

  • sin⁡\sin اور cos⁡\cos کی حد [−1,1][-1, 1] اور دور 2π2\pi ہے
  • tan⁡\tan کی حد (−∞,∞)(-\infty, \infty) اور دور π\pi ہے
  • tan⁡θ\tan\theta غیر معین ہوتا ہے جب cos⁡θ=0\cos\theta = 0 (π2+nπ\frac{\pi}{2} + n\pi پر)

متبادل فنکشنز ہیں:
csc⁡θ=1sin⁡θ,sec⁡θ=1cos⁡θ,cot⁡θ=1tan⁡θ\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

یہ چھ فنکشنز مثلثیات کی بنیاد بناتے ہیں اور ریاضی، طبیعیات، انجینئرنگ، اور سگنل پروسیسنگ میں ہر جگہ ظاہر ہوتے ہیں۔

Sin، Cos، اور Tan کیسے حل کریں

طریقہ 1: اکائی دائرہ (صحیح قدریں)

اکائی دائرے پر اہم زاویے اور ان کے متناسق یاد کریں:

زاویہsin⁡\sincos⁡\costan⁡\tan
00001100
π6\frac{\pi}{6} (30°)12\frac{1}{2}32\frac{\sqrt{3}}{2}13\frac{1}{\sqrt{3}}
π4\frac{\pi}{4} (45°)22\frac{\sqrt{2}}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}11
π3\frac{\pi}{3} (60°)32\frac{\sqrt{3}}{2}12\frac{1}{2}3\sqrt{3}
π2\frac{\pi}{2} (90°)1100غیر معین

طریقہ 2: مرجع زاویے

پہلے ربع سے باہر کے زاویوں کے لیے:

  1. مرجع زاویہ نکالیں (xx-محور سے حادہ زاویہ)
  2. ربع سے علامت طے کریں (ASTC قاعدہ: All، Sin، Tan، Cos)

ASTC قاعدہ — کون سے فنکشنز مثبت ہیں:

  • ربع I (0° سے 90°): تمام مثبت
  • ربع II (90° سے 180°): Sin مثبت
  • ربع III (180° سے 270°): Tan مثبت
  • ربع IV (270° سے 360°): Cos مثبت

مثال: sin⁡(150°)\sin(150°) — مرجع زاویہ 180°−150°=30°180° - 150° = 30°۔ ربع II میں، سائن مثبت ہے: sin⁡(150°)=+sin⁡(30°)=12\sin(150°) = +\sin(30°) = \frac{1}{2}۔

طریقہ 3: مجموعہ اور فرق فارمولے

غیر معیاری زاویوں کے لیے، معلوم زاویوں میں تجزیہ کریں:

sin⁡(A±B)=sin⁡Acos⁡B±cos⁡Asin⁡B\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B
cos⁡(A±B)=cos⁡Acos⁡B∓sin⁡Asin⁡B\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B
tan⁡(A±B)=tan⁡A±tan⁡B1∓tan⁡Atan⁡B\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}

مثال: cos⁡(75°)=cos⁡(45°+30°)=cos⁡45°cos⁡30°−sin⁡45°sin⁡30°=6−24\cos(75°) = \cos(45° + 30°) = \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

طریقہ 4: گراف تبدیلیاں

y=Asin⁡(Bx+C)+Dy = A\sin(Bx + C) + D کے لیے:

  • ∣A∣|A| = طول موج
  • 2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|} = دور
  • −CB-\frac{C}{B} = طور منتقلی
  • DD = عمودی منتقلی

موازنہ: ہر طریقہ کب استعمال کریں

طریقہبہترین برائےاہم اشارہ
اکائی دائرہمعیاری زاویے30°، 45°، 60° کے اضعاف
مرجع زاویہکوئی بھی ربعزاویہ > 90° یا منفی
مجموعہ/فرقغیر معیاری صحیح قدریںزاویہ = معیاری زاویوں کا مجموعہ
کیلکولیٹراعشاری تخمینےمن مانے زاویے

بچنے کے لیے عام غلطیاں

  • غلط ربع کی علامت: cos⁡(120°)=−12\cos(120°) = -\frac{1}{2}، نہ کہ +12+\frac{1}{2}۔ ہمیشہ جانچیں کہ کون سا ربع علامت طے کرتا ہے۔
  • درجوں اور ریڈین کو الجھانا: sin⁡(π)=0\sin(\pi) = 0 (ریڈین)، لیکن sin⁡(180)≈−0.80\sin(180) \approx -0.80 اگر 180 ریڈین کے طور پر تشریح کی جائے۔ اکائیوں کے ساتھ مستقل رہیں۔
  • tan کے غیر معین ہونے کو بھولنا: tan⁡(90°)\tan(90°) اور tan⁡(270°)\tan(270°) غیر معین ہیں (عمودی نقطہ ہائے میل)، صفر یا لامحدودیت نہیں۔
  • مجموعہ فارمولے کا غلط اطلاق: sin⁡(A+B)≠sin⁡A+sin⁡B\sin(A + B) \neq \sin A + \sin B۔ آپ کو درست پھیلاؤ استعمال کرنا ہوگا۔
  • مرجع زاویہ کی غلطیاں: مرجع زاویہ ہمیشہ xx-محور سے ناپا جاتا ہے (yy-محور سے نہیں)، اور ہمیشہ مثبت اور حادہ ہوتا ہے۔

Examples

Step 1: 5π6\frac{5\pi}{6} ربع II میں ہے (π2\frac{\pi}{2} اور π\pi کے درمیان)
Step 2: مرجع زاویہ: π−5π6=π6\pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6}
Step 3: سائن ربع II میں مثبت ہے: sin⁡5π6=+sin⁡π6=12\sin\frac{5\pi}{6} = +\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}
Answer: 12\frac{1}{2}

Step 1: 315°315° ربع IV میں ہے (270°270° اور 360°360° کے درمیان)
Step 2: مرجع زاویہ: 360°−315°=45°360° - 315° = 45°
Step 3: کوسائن ربع IV میں مثبت ہے: cos⁡(315°)=+cos⁡(45°)=22\cos(315°) = +\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}
Answer: 22\frac{\sqrt{2}}{2}

Step 1: 2π3\frac{2\pi}{3} ربع II میں ہے (π2\frac{\pi}{2} اور π\pi کے درمیان)
Step 2: مرجع زاویہ: π−2π3=π3\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}
Step 3: ٹینجنٹ ربع II میں منفی ہے: tan⁡2π3=−tan⁡π3=−3\tan\frac{2\pi}{3} = -\tan\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}
Answer: −3-\sqrt{3}

Frequently Asked Questions

اکائی دائرہ مبدأ پر مرکوز نصف قطر 1 والا ایک دائرہ ہے۔ کسی بھی زاویے theta کے لیے، دائرے پر نقطے کا x-متناسق cos(theta) اور y-متناسق sin(theta) ہے۔ یہ تمام زاویوں کے لیے مثلثیاتی فنکشنز کی تعریف کرنے کا ایک طریقہ فراہم کرتا ہے، صرف قائم الزاویہ مثلثوں والوں کے لیے نہیں۔

ASTC (کبھی کبھی 'All Students Take Calculus' کے طور پر یاد رکھا جاتا ہے) آپ کو بتاتا ہے کہ ہر ربع میں کون سے مثلثیاتی فنکشنز مثبت ہیں۔ ربع I میں تمام مثبت ہیں، II میں صرف سائن، III میں صرف ٹینجنٹ، اور IV میں صرف کوسائن۔ دیگر فنکشنز منفی ہوتے ہیں۔

ایک قائم الزاویہ مثلث میں: سائن مقابل بٹا وتر ہے، کوسائن ملحق بٹا وتر ہے، اور ٹینجنٹ مقابل بٹا ملحق ہے (یا برابر طور پر sin/cos)۔ یہ ایک ہی مثلث کی مختلف نسبتیں ناپتے ہیں اور ان کے مختلف گراف، دور، اور حدیں ہوتی ہیں۔

ریڈین حاصل کرنے کے لیے درجوں کو pi/180 سے ضرب دیں۔ درجے حاصل کرنے کے لیے ریڈین کو 180/pi سے ضرب دیں۔ اہم مساوات: 180 درجے = pi ریڈین، 90 درجے = pi/2، 360 درجے = 2pi۔

Related Solvers

مثلثیات کیلکولیٹرمعکوس مثلثیات کیلکولیٹرمشتق کیلکولیٹرتکامل کیلکولیٹر
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving