AI Math
ایپ کھولیں

معکوس مثلثیات کیلکولیٹر

مرحلہ وار حل کے ساتھ arcsin، arccos اور arctan حل کریں

گھسیٹ کر چھوڑیں یا کلک کریں تصاویر یا PDF شامل کرنے کے لیے

∑Math Input
arcsin(1/2)
arccos(-sqrt(2)/2)
arctan(sqrt(3))
sin(arccos(3/5))

معکوس مثلثیاتی فنکشنز کیا ہیں؟

معکوس مثلثیاتی فنکشنز معیاری مثلثیاتی فنکشنز کو الٹ دیتے ہیں۔ کوئی نسبت دی گئی ہو، تو یہ زاویہ واپس کرتے ہیں:

arcsin⁡(x)=θ  ⟺  sin⁡(θ)=x\arcsin(x) = \theta \iff \sin(\theta) = x
arccos⁡(x)=θ  ⟺  cos⁡(θ)=x\arccos(x) = \theta \iff \cos(\theta) = x
arctan⁡(x)=θ  ⟺  tan⁡(θ)=x\arctan(x) = \theta \iff \tan(\theta) = x

چونکہ مثلثیاتی فنکشنز ایک سے ایک نہیں ہیں، ہم مناسب معکوس کی تعریف کرنے کے لیے ان کے میدان محدود کرتے ہیں:

فنکشنمیدانحد (بنیادی قدریں)
arcsin⁡(x)\arcsin(x)[−1,1][-1, 1][−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
arccos⁡(x)\arccos(x)[−1,1][-1, 1][0,π][0, \pi]
arctan⁡(x)\arctan(x)(−∞,∞)(-\infty, \infty)(−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

متبادل علامتیں: sin⁡−1(x)\sin^{-1}(x)، cos⁡−1(x)\cos^{-1}(x)، tan⁡−1(x)\tan^{-1}(x) (نوٹ: sin⁡−1(x)≠1sin⁡x\sin^{-1}(x) \neq \frac{1}{\sin x})۔

اہم تعلقات:

  • ہر x∈[−1,1]x \in [-1, 1] کے لیے arcsin⁡(x)+arccos⁡(x)=π2\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}
  • ہر xx کے لیے arctan⁡(x)+arccot(x)=π2\arctan(x) + \text{arccot}(x) = \frac{\pi}{2}

معکوس مثلثیاتی فنکشنز تکامل (∫11+x2 dx=arctan⁡x+C\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C)، ہندسہ، جہاز رانی، اور طبیعیات میں ظاہر ہوتے ہیں۔

معکوس مثلثیاتی فنکشنز کیسے حل کریں

طریقہ 1: معلوم قدروں کا استعمال

معیاری قدروں کے لیے، اکائی دائرہ الٹ استعمال کریں:

arcsin⁡(12)=π6because sin⁡π6=12\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \quad \text{because } \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}

عام صحیح قدریں:

ان پٹarcsin⁡\arcsinarccos⁡\arccosarctan⁡\arctan
0000π2\frac{\pi}{2}00
12\frac{1}{2}π6\frac{\pi}{6}π3\frac{\pi}{3}—
22\frac{\sqrt{2}}{2}π4\frac{\pi}{4}π4\frac{\pi}{4}—
32\frac{\sqrt{3}}{2}π3\frac{\pi}{3}π6\frac{\pi}{6}—
11π2\frac{\pi}{2}00π4\frac{\pi}{4}
3\sqrt{3}——π3\frac{\pi}{3}

طریقہ 2: قائم الزاویہ مثلث طریقہ

cos⁡(arcsin⁡(35))\cos(\arcsin(\frac{3}{5})) جیسی ترکیبیں حل کرنے کے لیے:

  1. θ=arcsin⁡(35)\theta = \arcsin(\frac{3}{5}) رکھیں، تو sin⁡θ=35\sin\theta = \frac{3}{5}
  2. ایک قائم الزاویہ مثلث کھینچیں: مقابل =3= 3، وتر =5= 5
  3. ملحق نکالیں =25−9=4= \sqrt{25 - 9} = 4 (فیثاغورس مسئلہ)
  4. لہٰذا cos⁡θ=45\cos\theta = \frac{4}{5}

طریقہ 3: الجبری شناختیں

سادہ کرنے کے لیے مفید شناختیں:

sin⁡(arccos⁡x)=1−x2\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}
cos⁡(arcsin⁡x)=1−x2\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}
tan⁡(arcsin⁡x)=x1−x2\tan(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
sin⁡(arctan⁡x)=x1+x2\sin(\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}
cos⁡(arctan⁡x)=11+x2\cos(\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}

طریقہ 4: معکوس مثلثیاتی فنکشنز کے مشتقات

یہ کیلکولس کے لیے ضروری ہیں:

ddxarcsin⁡x=11−x2\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
ddxarccos⁡x=−11−x2\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
ddxarctan⁡x=11+x2\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}

طریقوں کا موازنہ

طریقہبہترین برائےاہم اشارہ
معلوم قدریںمعیاری نسبتیںان پٹ 0,12,22,32,10, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 ہو
قائم الزاویہ مثلثترکیبیںcos⁡(arcsin⁡(⋅))\cos(\arcsin(\cdot)) قسم کے اظہار
شناختیںالجبری سادہ کرنامعکوس مثلثیات ختم کرنا ہو
کیلکولیٹرغیر معیاری اعشاریےکوئی صحیح شکل متوقع نہیں

بچنے کے لیے عام غلطیاں

  • sin⁡−1(x)\sin^{-1}(x) کو 1sin⁡x\frac{1}{\sin x} سے الجھانا: علامت sin⁡−1(x)\sin^{-1}(x) کا مطلب arcsin ہے، نہ کہ cosecant۔ الجھن سے بچنے کے لیے سیاق و سباق استعمال کریں یا "arc" علامت کو ترجیح دیں۔
  • بنیادی قدر کی حدیں نظر انداز کرنا: arcsin⁡(−12)=−π6\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}، نہ کہ 11π6\frac{11\pi}{6}۔ جواب تعریف شدہ حد [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] میں ہونا چاہیے۔
  • منسوخی کا غلط اطلاق: x∈[−1,1]x \in [-1,1] کے لیے sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x، لیکن arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x صرف تب جب x∈[−π2,π2]x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]۔ اس حد سے باہر، آپ کو مناسب علامت کے ساتھ مرجع زاویہ ملتا ہے۔
  • میدان کی غلطیاں: arcsin⁡(2)\arcsin(2) اور arccos⁡(−3)\arccos(-3) حقیقی اعداد میں غیر معین ہیں کیونکہ ان کے میدان [−1,1][-1, 1] ہیں۔
  • فیثاغورس قدم میں غلط علامت: قائم الزاویہ مثلث طریقہ استعمال کرتے وقت، یقینی بنائیں کہ آپ بنیادی قدر کی حد سے دلالت شدہ ربع کی بنیاد پر درست علامت لیتے ہیں۔

Examples

Step 1: ہمیں θ∈[0,π]\theta \in [0, \pi] چاہیے ایسا کہ cos⁡θ=−32\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}
Step 2: ہم جانتے ہیں cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}۔ چونکہ کوسائن منفی ہے، θ\theta ربع II میں ہے
Step 3: θ=π−π6=5π6\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}
Answer: 5π6\frac{5\pi}{6}

Step 1: θ=arctan⁡43\theta = \arctan\frac{4}{3} رکھیں، تو θ∈(−π2,π2)\theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) کے ساتھ tan⁡θ=43\tan\theta = \frac{4}{3}
Step 2: قائم الزاویہ مثلث کھینچیں: مقابل =4= 4، ملحق =3= 3، وتر =16+9=5= \sqrt{16 + 9} = 5
Step 3: sin⁡θ=oppositehypotenuse=45\sin\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} = \frac{4}{5}
Answer: 45\frac{4}{5}

Step 1: پہلے sin⁡5π4\sin\frac{5\pi}{4} نکالیں۔ یہ زاویہ مرجع زاویہ π4\frac{\pi}{4} کے ساتھ ربع III میں ہے: sin⁡5π4=−22\sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}
Step 2: اب arcsin⁡(−22)\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) نکالیں: ہمیں θ∈[−π2,π2]\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] چاہیے sin⁡θ=−22\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2} کے ساتھ
Step 3: θ=−π4\theta = -\frac{\pi}{4} (محدود حد کے ربع IV میں)
Answer: −π4-\frac{\pi}{4}

Frequently Asked Questions

Arcsin(x) جواب دیتا ہے 'کس زاویے کا سائن x ہے؟' اسی طرح arccos اور arctan کے لیے۔ یہ sin، cos، اور tan کے معکوس عمل ہیں۔ مثال کے طور پر، arcsin(1/2) = 30 درجے (یا pi/6 ریڈین) کیونکہ sin(30 درجے) = 1/2۔

چونکہ سائن، کوسائن، اور ٹینجنٹ متواتر ہیں، ہر آؤٹ پٹ قدر لامحدود زاویوں سے متعلق ہوتی ہے۔ معکوس کو مناسب فنکشن بنانے کے لیے (فی ان پٹ ایک آؤٹ پٹ)، ہم بنیادی قدر کی حد تک محدود کرتے ہیں۔ arcsin کے لیے یہ [-pi/2, pi/2] ہے، arccos کے لیے یہ [0, pi] ہے، اور arctan کے لیے یہ (-pi/2, pi/2) ہے۔

نہیں۔ sin^(-1)(x) کا مطلب arcsin(x)، معکوس فنکشن ہے۔ متبادل 1/sin(x) کو csc(x) (cosecant) لکھا جاتا ہے۔ یہ مبہم طاقت علامت کی وجہ سے الجھن کا عام ذریعہ ہے۔

Arcsin اور arccos صرف -1 اور 1 کے درمیان شامل ان پٹ قبول کرتے ہیں، کیونکہ سائن اور کوسائن کبھی ان حدوں سے تجاوز نہیں کرتے۔ Arctan کوئی بھی حقیقی عدد ان پٹ کے طور پر قبول کرتا ہے کیونکہ ٹینجنٹ کوئی بھی حقیقی قدر پیدا کر سکتا ہے۔

Related Solvers

مثلثیات کیلکولیٹرSin Cos Tan کیلکولیٹرمشتق کیلکولیٹرتکامل کیلکولیٹر
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving