احتمال کیلکولیٹر

احتمال ناپتا ہے کہ کسی واقعے کے رونما ہونے کا کتنا امکان ہے۔ اسے $0$ اور $1$ کے درمیان ایک عدد کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے (یا برابر طور پر، $0\%$ سے $100\%$)۔

$P(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}$

اہم تصورات

• نمونہ فضا $S$: تمام ممکنہ نتائج کا سیٹ
• واقعہ $A$: نمونہ فضا کا ایک ذیلی سیٹ
• مکمل $A'$: وہ واقعہ کہ $A$ رونما نہیں ہوتا؛ $P(A') = 1 - P(A)$

احتمال کی اقسام

• نظری احتمال: مساوی طور پر ممکنہ نتائج کے بارے میں استدلال پر مبنی (مثلاً، ایک منصفانہ سکے کا $P(\text{heads}) = \frac{1}{2}$)
• تجرباتی احتمال: تجربات سے مشاہدہ شدہ تعددوں پر مبنی
• موضوعی احتمال: ذاتی فیصلے یا مہارت پر مبنی

احتمال کے قواعد

• کسی بھی واقعے $A$ کے لیے $0 \le P(A) \le 1$
• $P(S) = 1$ (کچھ نہ کچھ ہونا چاہیے)
• $P(\emptyset) = 0$ (ناممکن واقعہ)

بنیادی احتمال

مساوی طور پر ممکنہ نتائج کے لیے:

$P(A) = \frac{|A|}{|S|} = \frac{\text{favorable outcomes}}{\text{total outcomes}}$

جمع قاعدہ (OR)

اس احتمال کے لیے کہ واقعہ $A$ یا واقعہ $B$ رونما ہوتا ہے:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

اگر $A$ اور $B$ باہمی استثنائی ہوں (ایک ساتھ نہیں ہو سکتے):

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

ضرب قاعدہ (AND)

اس احتمال کے لیے کہ واقعہ $A$ اور واقعہ $B$ دونوں رونما ہوتے ہیں:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

اگر $A$ اور $B$ آزاد ہوں:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

مشروط احتمال

$B$ کے رونما ہونے کے پیش نظر $A$ کا احتمال:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

دو رقمی احتمال

$n$ آزاد آزمائشوں میں بالکل $k$ کامیابیوں کا احتمال، ہر ایک کا احتمال $p$:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

جہاں $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

خلاصہ جدول

• یہ فرض کرنا کہ واقعات آزاد ہیں جب وہ نہیں ہیں — متبادل کے بغیر تاش کھینچنا ہر کھینچ کے بعد احتمالات بدل دیتا ہے۔
• جمع قاعدے میں اوورلیپ منفی کرنا بھولنا — جب واقعات ایک ساتھ ہو سکتے ہوں، تو آپ کو دہرے شمار سے بچنے کے لیے $P(A \cap B)$ منفی کرنا ہوگا۔
• "اور" کو "یا" سے الجھانا — "اور" کا مطلب دونوں واقعات ہوتے ہیں (آزاد واقعات کے لیے احتمالات ضرب دیں)؛ "یا" کا مطلب کم از کم ایک ہوتا ہے (احتمالات جمع کریں)۔
• نمونہ فضا میں تمام ممکنہ نتائج پر غور نہ کرنا — یقینی بنائیں کہ کل کو درست گنیں، خاص طور پر امتزاج اور تبادلوں کے ساتھ۔
• مشروط احتمال کی سمت کو الجھانا — $P(A|B)$، $P(B|A)$ جیسا نہیں ہے۔